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« Statique des fluides/Exercices/Nappe de pétrole » : différence entre les versions

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{{Exercice
Une nappe de pétrole à la surface de la mer de densité s est contenue par une barrière flottante mince, circulaire de rayon R. La profondeur de la nappe est d. La densité du pétrole est p.
| titre = Nappe de pétrole
| idfaculté = ingénieur
| leçon = [[Statique des fluides]]
| numero = 6
| chapitre =
| niveau = 14
}}
 
 
Une nappe de pétrole à la surface de la mer de densité s est contenue par une barrière flottante mince, circulaire de rayon R. La profondeur de la nappe est d. La densité du pétrole est p.
 
[[Fichier:Nappe_de_pétrole.JPG‎ |center|thumb|400px|Nappe de pétrole -— Schéma]]
 
'''1.''' Quelle est la hauteur h du pétrole au dessus de l’eau ?
 
'''2.''' La différence de pression de part et d’autre de la barrière génère une tension dans la barrière.
 
 
a) Quelle est la hauteur h du pétrole au dessus de l’eau ?
 
b) La différence de pression de part et d’autre de la barrière génère une tension dans la barrière.
 
En écrivant l’équilibre d’un petit élément de surface cylindrique soumis à une pression interne P, établir la relation entre P et la tension dans la surface. Cette relation correspond à la Loi de Pascal pour un cylindre. Donner alors l’expression de la force de tension à laquelle est soumise la barrière et tracer son profil, quelle est sa valeur maximale ?
Ligne 22 ⟶ 27 :
 
{{Solution|contenu=
'''1.''' On calcule la masse de pétrole :
:<math> M_p = \rho_p d \pi R^2 \,</math>
 
Masse du volume d'eau déplacé :
:<math> M = \rho_{eau} ( d-h)\pi R^2 \,</math>
 
Poussée d'Archimède :
1) On calcule la masse de pétrole:
:<math> \rho_p d \pi R^2 = \rho_{eau} ( d-h) \pi R^2 \,</math>
 
:<math> h = d (1 - {\rho_p \over \rho_{eau}}) \,</math>
 
On trouve :
:<math> h = 5cm \,</math>
 
Force de tension dans une barrière :
<math> M_p = \rho_p d \pi R^2 \,</math>
 
 
 
Masse du volume d'eau déplacé:
 
 
 
<math> M = \rho_{eau} ( d-h)\pi R^2 \,</math>
 
 
 
Poussée d'Archimède:
 
 
 
<math> \rho_p d \pi R^2 = \rho_{eau} ( d-h) \pi R^2 \,</math>
 
 
 
<math> h = d (1 - {\rho_p \over \rho_{eau}}) \,</math>
 
 
 
On trouve:
 
 
 
<math> h = 5cm \,</math>
 
 
 
Force de tension dans une barrière:
 
 
 
Pour une barrière fine, la différence de pression de part et d'autre de la barriere génère une tension dans la barrière.
 
 
Pour une barrière fine, la différence de pression de part et d'autre de la barrière génère une tension dans la barrière.
 
C'est la loi de Pascal ( même chose que pour la tension superficielle dans une bulle).
 
On a alors :
:<math> \Delta P = {T \over R } \,</math> pour un cylindre.
 
:<math> \Delta P = {2T \over R } \,</math> pour une sphère.
 
Pour un cylindre, dans notre cas, on schématise la situation comme suivant :
On a alors:
 
 
 
<math> \Delta P = {T \over R } \,</math> pour un cylindre.
 
 
 
<math> \Delta P = {2T \over R } \,</math> pour une sphère.
 
 
 
Pour un cylindre, dans notre cas, on schématise la situation comme suivant:
 
 
 
[[Fichier:Nappe_de_pétrole_2.JPG‎ |center|thumb|400px|Nappe de pétrole - Schéma]]
 
 
[[Fichier:Nappe_de_pétrole_2.JPG‎ |center|thumb|400px|Nappe de pétrole — Schéma]]
 
A l'équilibre, on a :
:<math> \Delta P R d \Theta dz = 2T sin {d\Theta \over 2} dz \,</math>
 
On considère <math> d \Theta \,</math> petit donc on a :
:<math> sin ( {d \Theta \over 2}) = {d\Theta \over 2 } \,</math>
 
:<math> \Delta PR= T\,</math>
 
Finalement, on écrit :
<math> \Delta P R d \Theta dz = 2T sin {d\Theta \over 2} dz \,</math>
:<math> T = R \Delta P \,</math>
 
 
 
On considère <math> d \Theta \,</math> petit donc on a:
 
 
 
<math> sin ( {d \Theta \over 2}) = {d\Theta \over 2 } \,</math>
 
 
 
<math> \Delta PR= T\,</math>
 
 
 
Finalement, on écrit:
 
 
 
<math> T = R \Delta P \,</math>
 
 
 
Différence de pression:
 
 
 
On schématise la situation en coupe comme suivant:
 
 
 
[[Fichier:Nappe_de_pétrole_3.JPG‎ ‎ |center|thumb|400px|Nappe de pétrole - Schéma]]
 
Différence de pression :
 
On schématise la situation en coupe comme suivant :
[[Fichier:Nappe_de_pétrole_3.JPG‎ ‎|center|thumb|400px|Nappe de pétrole — Schéma]]
 
On ne prends pas en compte la pression atmosphérique car elle agit des 2 cotés de la barrière.
 
On distingue les deux cas suivant :
:<math>\begin{cases} z<h: \Delta P = -P_{petrole} \\ z>h: \Delta P = -P_{petrole} + P_{eau} \end{cases} \,</math>
 
:<math>\begin{cases} z<h: \Delta P = -\rho_{petrole}gz \\ z>h: \Delta P = -\rho_{petrole}gz + \rho_{eau}g(z-h) \end{cases} \,</math>
 
Donc :
On distingue les deux cas suivant:
:<math>\begin{cases} z<h: T=-R\rho_{petrole}gz \\ z>h: T=Rg[z (\rho_{eau} -\rho_{petrole}) -\rho_{eau}h] \end{cases} \,</math>
 
Application numérique :
:<math>\begin{cases} z<h: T = -392400 z \\ z>h: 490,5 ( 200 z - 50 ) \end{cases} \,</math>
}}
 
[[Catégorie:Statique des fluides]]
 
<math>\begin{cases} z<h: \Delta P = -P_{petrole} \\ z>h: \Delta P = -P_{petrole} + P_{eau} \end{cases} \,</math>
 
 
 
<math>\begin{cases} z<h: \Delta P = -\rho_{petrole}gz \\ z>h: \Delta P = -\rho_{petrole}gz + \rho_{eau}g(z-h) \end{cases} \,</math>
 
 
 
Donc
 
 
 
<math>\begin{cases} z<h: T=-R\rho_{petrole}gz \\ z>h: T=Rg[z (\rho_{eau} -\rho_{petrole}) -\rho_{eau}h] \end{cases} \,</math>
 
 
 
Application numérique:
 
 
 
<math>\begin{cases} z<h: T = -392400 z \\ z>h: 490,5 ( 200 z - 50 ) \end{cases} \,</math>
 
 
 
 
}}
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