« Statique des fluides/Exercices/Boite de conserve et mouette » : différence entre les versions

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{{Exercice
Une boîte de conserve cylindrique de section A, retournée, flotte à la surface de la mer de densité . Le poids de cette boîte de masse M est supporté par la pression de l’air comprimé à l’intérieur, qui obéit à l’équation des gaz parfaits (pV = K où K est une constante). Le sommet de la boîte dépasse l’eau d’une hauteur h. Une mouette vient se poser sur le fond de la boîte qui se trouve ainsi à affleurer le niveau de l’eau.
| titre = Boite de conserve et mouette
| idfaculté = ingénieur
| leçon = [[Statique des fluides]]
| numero = 5
| chapitre =
| niveau = 14
}}
 
Une boîte de conserve cylindrique de section A, retournée, flotte à la surface de la mer de densité . Le poids de cette boîte de masse M est supporté par la pression de l'air comprimé à l'intérieur, qui obéit à l'équation des gaz parfaits (pV = K où K est une constante). Le sommet de la boîte dépasse l'eau d'une hauteur h. Une mouette vient se poser sur le fond de la boîte qui se trouve ainsi à affleurer le niveau de l'eau.
 
Quelle est la masse de la mouette ?
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Solution : 412 g
 
[[Fichier:Mouette123.JPG|center|thumb|600px|Mouette — Schéma]]
 
[[Fichier: Mouette123.JPG|center|thumb|600px|Mouette - Schéma]]
 
 
 
 
{{Solution|contenu=
On définit la poussée d'Archimède dans chaque cas; on fait le PFD sur le système :
 
 
On définit la poussée d'Archimède dans chaque cas; on fait le PFD sur le système:
 
 
 
Dans le premier cas,
:<math> M + M_{air}= \rho A h_1 \,</math>
 
:<math> M + M_{air} + M_{mouette} = \rho A h_2 \,</math>
 
On néglige la masse de l'air, qui est négligeable devant la masse de la boite (a contrôler).
 
On considère l'air comme un gaz parfait, et de ce fait :
<math> M + M_{air}= \rho A h_1 \,</math>
:<math> PV = nRT = K \,</math> constante car la quantité de matière reste constante dans les deux cas, et la température aussi.
 
 
 
<math> M + M_{air} + M_{mouette} = \rho A h_2 \,</math>
 
 
 
On néglige la masse de l'air, qui est négligeable devant la masse de la boite ( a controler).
 
 
 
On considère l'air comme un gaz parfait, et de ce fait:
 
 
 
<math> PV = nRT = K \,</math> constante car la quantité de matière reste constante dans les deux cas, et la température aussi.
 
 
 
D'ou:
 
 
 
<math> P_1 V_1 = P_2 V_2 \,</math>
 
 
D'où :
:<math> P_1 V_1 = P_2 V_2 \,</math>
 
Avec <math> V_1 = ( h + h_1) A \,</math> et <math> V_2 = h_2 A \,</math>
 
D'où :
:<math> P_1 ( h + h_1 ) = P_2 h_2 \,</math>
 
On utilise la loi fondamentale de l'hydrostatique :
:<math> P(z) + \rho gz = cte \,</math>
 
d'où :
D'ou
:<math> P_1 + \rho g h_1 = P_a \,</math>
 
 
 
<math> P_1 ( h + h_1 ) = P_2 h_2 \,</math>
 
 
 
On utilise la loi fondamentale de l'hydrostatique:
 
 
 
<math> P(z) + \rho gz = cte \,</math>
 
 
 
d'ou:
 
 
 
<math> P_1 + \rho g h_1 = P_a \,</math>
 
 
 
<math> P_2 + \rho g h_2 = P_a \,</math>
 
 
:<math> P_2 + \rho g h_2 = P_a \,</math>
 
Car il y a continuité de pression dans l'air et dans l'eau.
 
On a donc un système a cinq inconnues, et cinq équations :
:<math> \begin{cases} M = \rho A h_1 \\ M + M_{mouette} = \rho A h_2\\ P_1 + \rho g h_1 = P_a\\ P_2 + \rho g h_2 = P_a\\P_1 ( h + h_1 ) = P_2 h_2 \end{cases} \,</math>
 
On résous les équations :
:<math> h_1 = {M \over \rho A} = 1,942 cm \,</math>
 
:<math> P_1 = P_a - \rho g h_1 \,</math>
On a donc un système a cinq inconnues, et cinq équations:
 
 
 
<math> \begin{cases} M = \rho A h_1 \\ M + M_{mouette} = \rho A h_2\\ P_1 + \rho g h_1 = P_a\\ P_2 + \rho g h_2 = P_a\\P_1 ( h + h_1 ) = P_2 h_2 \end{cases} \,</math>
 
 
 
On résouds les équations:
 
 
 
<math> h_1 = {M \over \rho A} = 1,942 cm \,</math>
 
 
 
<math> P_1 = P_a - \rho g h_1 \,</math>
 
 
 
On trouve que les deux pressions ont des valeurs très proches. Il en est de même P2 et Pa.
 
Une autre équation se simplifie et donne :
:<math> h + h_1 = h_2 \,</math>
 
On trouve alors, en remplaçant:
 
:<math> M + M_{mouette} = \rho A ( h + {M \over \rho A })\,</math>
Une autre équation se simplifie et donne:
 
 
 
<math> h + h_1 = h_2 \,</math>
 
 
 
On trouve alors, en remplacant:
 
 
 
<math> M + M_{mouette} = \rho A ( h + {M \over \rho A })\,</math>
 
 
 
et
 
:<math> M_{mouette} = \rho A h = 0,412 kg \,</math>
 
Précédemment, nous avons négligé la masse de l'air dans la boite :
 
:<math> M_{mouetteair} = \rhorho_{air} A h = 0,41249 kgg \,</math>
 
 
 
Précedement, nous avons négligé la masse de l'air dans la boite:
 
 
 
<math> M_{air} = \rho_{air} A h = 0,49 g \,</math>
 
 
 
Donc nous n'avons pas commis d'erreur grave...
}}
 
[[Catégorie:Statique des fluides]]
 
}}