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« Statique des fluides/Exercices/Barrage » : différence entre les versions

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{{Exercice
Un barrage fermé par un quart de cylindre d’axe vertical et de rayon R est adossé aux 2 parois d’une gorge. L’eau derrière le barrage possède une profondeur h. Calculer la résultante F des forces de pression sur le barrage.
| titre = Barrage
| idfaculté = ingénieur
| leçon = [[Statique des fluides]]
| numero = 9
| chapitre =
| niveau = 14
}}
 
Un barrage fermé par un quart de cylindre d'axe vertical et de rayon R est adossé aux 2 parois d'une gorge. L'eau derrière le barrage possède une profondeur h. Calculer la résultante F des forces de pression sur le barrage.
 
[[Fichier:Barrage.JPG‎ |center|thumb|400px|Barrage -— Schéma]]
 
Calculer l'intensité des forces F1 et F2 exercées par le barrage sur les appuis en supposant ces forces tangentes au barrage.
 
 
Calculer l’intensité des forces F1 et F2 exercées par le barrage sur les appuis en supposant ces forces tangentes au barrage.
AN : R = 30 m, h = 20 m.
 
Solution : F1 = 5,88 107 N
 
 
 
{{Solution|contenu=
On fait le bilan des forces sur le barrage; on s'appuie sur la modélisation suivante pour la résolution de l'exercice :
 
[[Fichier:Barrage2.JPG‎ |center|thumb|400px|Barrage 2 — Schéma]]
On fait le bilan des forces sur le barrage; on s'appuie sur la modélisation suivante pour la résolution de l'exercice:
 
Bilan des forces :
:<math> \vec {F_1}\begin{cases} F_1 \\ 0 \\0 \end{cases} </math> et <math> \vec {F_2}\begin{cases} 0 \\ F_2 \\0 \end{cases} </math>
 
:<math> \vec F </math> force de pression résultante.
[[Fichier:Barrage2.JPG‎ |center|thumb|400px|Barrage 2 - Schéma]]
 
:<math>\vec {F}\begin{cases} F_x=-{F \over \sqrt 2} \\ F_y=-{F\over \sqrt 2} \\0 \end{cases} </math>
 
Bilan des forces:
 
 
 
<math> \vec {F_1}\begin{cases} F_1 \\ 0 \\0 \end{cases} </math> et <math> \vec {F_2}\begin{cases} 0 \\ F_2 \\0 \end{cases} </math>
 
 
 
<math> \vec F </math> force de pression résultante.
 
 
 
<math>\vec {F}\begin{cases} F_x=-{F \over \sqrt 2} \\ F_y=-{F\over \sqrt 2} \\0 \end{cases} </math>
 
 
 
Il faut donc exprimer F. La force de pression sur un élement de surface dS de normale n est:
 
 
 
<math> d \vec F = - \rho_{eau} gz R d \Theta dz \vec n </math>
 
 
 
soit
 
 
 
<math> \begin{cases} dF_x = -\rho_{eau}gzRd \Theta dz cos \Theta \\ dF_y = -\rho_{eau}gzRd\Theta dz sin \Theta \\ 0 \end{cases} </math>
 
Il faut donc exprimer F. La force de pression sur un élement de surface dS de normale n est :
:<math> d \vec F = - \rho_{eau} gz R d \Theta dz \vec n </math>
 
soit :
:<math> \begin{cases} dF_x = -\rho_{eau}gzRd \Theta dz cos \Theta \\ dF_y = -\rho_{eau}gzRd\Theta dz sin \Theta \\ 0 \end{cases} </math>
 
On a donc :
:<math> F_x = - \int_{0}^h \int_{0}^{\pi \over 2} {\rho_{eau} gz R d \Theta dz cos \Theta}\, </math>
 
 
 
<math> F_x = - \int_{0}^h \int_{0}^{\pi \over 2} {\rho_{eau} gz R d \Theta dz cos \Theta}\, </math>
:<math> F_x = \rho_{eau} g R \int_{0}^h z dz \int_{0}^{\pi \over 2} cos \Theta d\Theta </math>
 
:<math> F_x = -\rho_{eau} g R [{z^2 \over 2} ]_{0}^{h} [sin \Theta]_{0}^{\pi \over 2} </math>
 
:<math> F_x = - \rho_{eau}gR g R \int_{0}^h z dz \int_{0}^{\pi2 \over 2} cos \Theta d\Theta </math>
 
En reprenant l'équation précédente, on obtient :
:<math> F= -F_x \sqrt 2 = {\rho_{eau}g R h^2 \over \sqrt 2} = F </math>
 
On a l'équilibre du barrage pour :
:<math> \begin{cases} F_1 + F_x = 0 \\ F_2 + F_y = 0 \end{cases} \rightarrow F_1 = F_2 = {F \over \sqrt 2 } </math>
 
En application numérique, on trouve :
<math> F_x = -\rho_{eau} g R [{z^2 \over 2} ]_{0}^{h} [sin \Theta]_{0}^{\pi \over 2} </math>
:<math> F_1= 5,89.10^7 N \,</math>
}}
 
[[Catégorie:Statique des fluides]]
 
 
<math> F_x = - \rho_{eau}gR {h^2 \over 2} </math>
 
 
 
En reprenant l'équation précedente, on obtient:
 
 
 
<math> F= -F_x \sqrt 2 = {\rho_{eau}g R h^2 \over \sqrt 2} = F </math>
 
 
 
On a l'équilibre du barrage pour
 
 
 
<math> \begin{cases} F_1 + F_x = 0 \\ F_2 + F_y = 0 \end{cases} \rightarrow F_1 = F_2 = {F \over \sqrt 2 } </math>
 
 
 
En application numérique, on trouve:
 
 
 
<math> F_1= 5,89.10^7 N \,</math>
 
}}
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