« Polynôme/Arithmétique des polynômes » : différence entre les versions

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| titre = Théorème et définition : Division euclidienne dans lK[X]
| contenu =
<center>{{Résultat|<math>\forall A,B \in \mathbb K[X] \times (\mathbb K[X]-\{0\}) , \exists ! (Q,R) \in (\mathbb K[X])^2 | A = BQ + R \mathrm{\;et\;} \deg R < \deg B\,</math>}}</center>.<br />
<math>Q\,</math> est le '''quotient''' de <math>A\,</math> par <math>B\,</math> et <math>R\,</math> est le '''reste'''.
}}
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}}
 
'''Exemple :''' Division de <math>X^4-X^3+X^2-X+8\,</math> par <math>X^2+3X+1\,</math> .<br />
: <u>Étape 1</u> : division de <math>X^4-X^3+X^2\,</math> par <math>X^2+3X+1\,</math> (quotient <math>X^2\,</math> , reste <math>-4X^3\,</math> )
{|border ="0" cellspacing = "0"
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| titre = Définition : Divisiblité
| contenu =
Soient <math>A\,</math> et <math>B\,</math> deux polynômes.<br />
On dit que <math>B\,</math> '''divise''' <math>A\,</math> (ce qu'on note <math>B|A\,</math> ) si, et seulement si, il existe <math>P\in \mathbb K[X]\,</math> tel que <math>A = PB\,</math> :<br />
<center>{{Résultat|<math>B|A : \iff \exists P\in\mathbb K[X] | A = PB\,</math>}}</center>.
}}
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| titre = Propriétés
| contenu =
Soient <math>A,B,C\in \mathbb K[X]\,</math> et <math>\lambda\in\mathbb K\,</math> .<br />
* <math>A|\lambda \iff A\mathrm{\;constant\;}\,</math>
* '''Transitivité :''' <math>A|B \mathrm{\;et\;} B|C \Rightarrow A|C\,</math>
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| titre = Définitions : PGCD et PPCM de deux polynômes
| contenu =
Soient <math>A,B\in \mathbb K[X]\,</math> .<br />
* Un '''PGCD (Plus Grand Diviseur Commun)''' de <math>A\,</math> et <math>B\,</math> est un polynôme <math>D\,</math> qui divise <math>A\,</math> et <math>B\,</math> et tel que tout diviseur commun à <math>A\,</math> et <math>B\,</math> divise <math>D\,</math> (c'est donc le "plus grand" au sens de la relation d'ordre "divise") .
* Un '''PPCM (Plus Petit Commun Multiple)''' de <math>A\,</math> et <math>B\,</math> est un polynôme <math>M\,</math> qui est divisible par <math>A\,</math> et <math>B\,</math> et tel que tout multiple commun à <math>A\,</math> et <math>B\,</math> soit divisible par <math>M\,</math> (c'est donc le "plus petit" au sens de la relation d'ordre "divise") .
}}
 
<u>Remarques :</u> <br />
* <math> P|Q \iff \operatorname{pgcd}(P;Q) = P \iff \operatorname{ppcm}(P;Q) = Q\,</math> .<br />
* On démontre facilement que deux PGCD ou PPCM d'un même couple de polynômes sont associés (c'est-à-dire égaux à une constante multiplicative près).
* Comme dans <math>\mathbb Z\,</math>, deux polynômes sont dits '''premiers entre eux''' si, et seulement si, leur PGCD vaut 1 (en fait, cela équivaut à dire que leur PGCD est un polynôme constant).
Ligne 135 :
| titre = Lemme d'Euclide
| contenu =
Soient <math>A,B\in \mathbb K[X]\,</math> .<br />
Alors <math>\forall P,Q\in\mathbb K[X]\,</math>, si <math>A = BP+Q\,</math> on a :<br />
<center>{{Résultat|<math>\operatorname{pgcd}(A;B) = \operatorname{pgcd}(B;Q)\,</math>}}</center>.
}}
Ligne 142 :
{{Démonstration déroulante
| contenu =
Il faut montrer que l'ensemble <math>\mathcal D(A;B)\,</math> des diviseurs communs à <math>A\,</math> et <math>B\,</math> est égal à <math>\mathcal D(B;Q)\,</math> .On raisonne donc par implications successives.<br />
<math>(\subset)\,</math> : Soit <math>C\in\mathcal D(A;B)\,</math>.<br />
Alors <math>C|A\mathrm{\;et\;}C|B \Rightarrow C|Q = A-BP\,</math> d'où l'on tire que <math>C\in\mathcal D(B;Q)\,</math>.<br />
<math>(\supset)\,</math> : Soit <math>C\in\mathcal D(B;Q)\,</math>.<br />
Alors <math>C|B\mathrm{\;et\;}C|Q \Rightarrow C|A = BP+Q\,</math> d'où l'on tire que <math>C\in\mathcal D(A;B)\,</math>.<br />
On a bien l'égalité <math>\mathcal D(A;B) = \mathcal D(B;Q)\,</math> : si ces ensembles sont égaux, alors leur plus grands éléments aussi, d'où le résultat.
}}
 
On en déduit l'Algorithme d'Euclide :<br />
Soient <math>(A,B)\in (\mathbb K[X])^{2}</math> tels que <math>\deg A>\deg B\,</math><br />
{| border="1" | valign="center" | align="center"
Ligne 178 :
| titre = Théorème de Bézout
| contenu =
* <math>\forall A,B\in \mathbb K[X]\, , \exists U,V\in \mathbb K[X] | AU+BV = \operatorname{pgcd}(A,B)\,</math> .<br />
* <math>\operatorname{pgcd}(A;B) = 1 \iff \left(\exists U,V \in \mathbb K[X] | AU+BV = 1\right)\,</math>.
}}
Ligne 185 :
| titre = Théorème de Gauss
| contenu =
Soient <math>A,B,C\in \mathbb K[X]\,</math>.<br />
Si <math>A|BC\,</math> et <math>\operatorname{pgcd}(A;B) = 1\,</math> , alors <math>A|C\,</math> .
}}
Ligne 194 :
| titre = Définition : Polynômes premiers et irréductibles
| contenu =
Soit <math>P\in \mathbb K[X]\,</math> non constant.<br />
* Le polynôme <math>P\,</math> est dit '''irréductible''' si, et seulement si, ses seuls diviseurs sont les polynômes constants et ceux de la forme <math>\lambda P (\mathrm{\;avec\;} \lambda\in \mathbb K)\,</math>.
* Le polynôme <math>P\,</math> est dit '''premier''' si, et seulement si :<br />
<center>{{Résultat|<math>\forall A,B\in \mathbb K[X], P|AB \Rightarrow P|A \mathrm{\;ou\;} P|B</math>}}</center>.
}}
Ligne 208 :
On démontre aussi :
{{Théorème
| contenu = <math>\mathbb K[X]\,</math> est un anneau '''factoriel'''.<br />
Cela signifie que, comme dans <math>\mathbb Z\,</math> , tout polynôme non constant admet une décomposition en produit de facteurs premiers, unique à l'ordre des facteurs près.
}}