« Continuité et variations/Exercices/Théorème des valeurs intermédiaires » : différence entre les versions
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{{Exercice
| titre = Théorème des valeurs intermédiaires
| idfaculté = mathématiques
| leçon = [[Continuité et variations]]
| niveau = 12
| numero = 2
| chapitre = [[Continuité et variations/Théorème des valeurs intermédiaires|Théorème des valeurs intermédiaires]]
}}
== Exercice 1 ==
:<math>f(x)=x^3-4x+5\,</math>.
Ligne 16 :
Le but de l'exercice est de démontrer l'existence d'une solution à l'équation <math>f(x)=8</math>.
'''1.''' Justifier la continuité de ''f'' sur <math>[-2;3]</math>.
{{Solution}}
▲3°Conclure.
== Exercice 2 ==
ƒ est définie et continue sur I=[-4 ; 1] par <math>f(x)=x^3 + 6x^2 + 9x + 3</math>
<math>\begin{array}{c|ccccccc|}
x&-4&&-3&&-1&&1\\
\hline
&&&3&&&&19\\
f&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&\\
&-1&&&&-1\\
\hline
\end{array}
</math>
'''1.''' En justifiant votre réponse, déterminer le nombre de solutions de l'équation <math>f(x)=2</math> dans I.
'''2. a.''' Justifier que l'équation <math>f(x)=4</math> admet une solution unique, α, dans l'intervalle I.
'''b.''' Déterminer un encadrement de α entre deux entiers consécutifs (en justifiant votre réponse).
'''c.''' Déterminer une valeur approchée par excès de α au millième près (en justifiant votre réponse).
'''3.''' On admet que l'équation <math>f(x)=0</math> admet une solution unique β dans -63 ; -1]. Déterminer un encadrement de β à 10<sup>-2</sup> près (en justifiant la réponse).
{{Solution|contenu=
'''1.'''
* ƒ est strictement croissante sur [-4 ; -3], à valeurs dans [-1 ; 3] contenant 2. Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation <math>f(x)=2</math> admet une solution unique dans [-4 ; -3] ;
* de même ƒ est strictement décroissante sur [-3 ; 1], donc l'équation <math>f(x)=2</math> admet aussi une solution unique sur [-3 ; 1] ;
* ƒ est strictement croissante sur [-1 ; 1], à valeurs dans [-1 ; 19] qui contient 2 donc l'équation <math>f(x)=2</math> admet une solution unique dans [-1 ; 1].
'''Conclusion''' : L'équation <math>f(x)=2</math> admet exactement '''3 solutions''' dans [-4 : 1].
'''2. a.''' Nombre de solutions de l'équation <math>f(x)=4</math> :
ƒ admet en -3 un maximum égal à 3 sur l'intervalle [-4 ; -1] donc 4 n'a pas d'antécédent dans cet intervalle, l'équation <math>f(x)=4</math> n'admet donc pas de solution sur [-4 ; -1].
Sur [-1 ; 1], ƒ est strictement croissante et prend ses valeurs dans [-1 ; 19]. Or, 4 ∈ [-1 ; 19]. Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation <math>f(x)=4</math> admet une solution unique dans [-1 ; 1].
'''Conclusion''' : L'équation <math>f(x)=4</math> admet '''une solution unique α''' dans [-4 ; 1].
'''b.''' D'après la question précédente, α ∈ (-1 ; 1]. Or, ƒ(0) = 3 donc 3 < 4 < 19, c'est à dire ƒ(0) < 4 < ƒ(1).
'''Conclusion''' : α ∈ [0 ; 1] (encadrement de α par deux entiers consécutifs)
'''c.''' Valeur approchée par excès de α au millième près :
* encadrement au dixième près :
ƒ(0,1) ≈ 3,961 et ƒ(0,2) ≈ 5,048 donc ƒ(0,1) < 4 < ƒ(0,2)
:donc 0,1 < α < 0,2
* encadrement au centième près :
ƒ(0,10) ≈ 3,961 et ƒ(0,11) ≈ 4,063 donc ƒ(0,10) < 4 < ƒ(0,11)
:donc 0,10 < α < 0,11
* encadrement au millième près :
ƒ(0,103) ≈ 3,992 et ƒ(0,104) ≈ 4,002
:or ƒ(0,103) < 4 < ƒ(0,104) et 0,103 < α < 0,104
:donc 0,103 < α < 0,104 encadrement au millième près de α
'''Conclusion''' : '''α ≈ 0,104''' (valeur approchée par excès au millième)
'''3.'''
β solution de l'équation <math>f(x)=0</math> (encadrement à 10<sup>-2</sup> près) avec β ∈ [-3 ; 1].
Sur [-3 ; 1], ƒ est décroissante, donc si ƒ(x) > 0 alors x < β et si ƒ(x) < 0 alors x > β.
* à l'entier près : ƒ(-2) = 1 et ƒ(-1) = -1 donc ƒ(-2) > 0 > ƒ(-1)
* au dixième près : ƒ(-1,7) ≈ 0,127 et ƒ(-1,6) ≈ -0,136
:donc ƒ(-1,7) > 0 > ƒ(-1,6)
:soit -1,7 < β < -1,6 (à 10<sup>-1</sup> près)
* au centième près : ƒ(-1,66) ≈ 0,019 et ƒ(-1,65) ≈ -0,07
:donc ƒ(-1,66) > 0 > ƒ(-1,65)
'''Conclusion''' : '''-1,66 < β < -1,65''', encadrement à 10<sup>-2</sup> près de β.
}}
[[Catégorie:Continuité et variations]]
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