« Série numérique/Exercices/Fraction rationnelle » : différence entre les versions
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Nouvelle page : == Énoncés == ===Question 1=== Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle définie sur <math>\mathbb{R}\setminus \{-1, -2, -3\}</math> par <math>F(x) = \frac{2}{(... |
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===Question 1===
<math>F(x) = \frac{2}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+2} + \frac{c}{x+3}</math>
<math>F(x) \times (x+1) = a + \frac{b(x+1)}{x+2} + \frac{c(x+1)}{x+3}</math>
En posant x = -1 on isole a :
<math>\frac{2}{((-1)+2)((-1)+3)} = a </math>, soit <math>a = 1\,</math>
<math>F(x) \times (x+2) = \frac{1(x+2)}{x+1} + b + \frac{c(x+2)}{x+3}</math>
De même, x = -2 :
<math>\frac{2}{((-2)+1)((-2)+3)} = b </math>, soit <math>b = -2\,</math>
Puis la dernière inconnue :
<math>F(x) \times (x+3) = \frac{1(x+3)}{x+1} + \frac{(-2)(x+3)}{x+2} + c</math>
En posant x = -3 :
<math>\frac{2}{((-3)+1)((-3)+2)} = c </math>, soit <math>c = 1\,</math>
<math>F(x) = \frac{2}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{1}{x+1} + \frac{-2}{x+2} + \frac{1}{x+3}</math>
===Question 2===
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