« Série numérique/Exercices/Fraction rationnelle » : différence entre les versions
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Ligne 14 :
===Question 3===
\f
Retrouver le résultat précédent en utilisant le résultat : <math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = ln(n) + \gamma + \epsilon_n</math> avec <math>\lim_{n \to \infty}\epsilon_n = 0</math>, vu dans l'exercice 4.
Ligne 49 :
===Question 2===
Soit <math>S_n = \sum_{k=0}^n \frac{2}{(k+1)(k+2)(k+3)}</math>. D'après la question 1, on a :
<math>\begin{align}
\sum_{k=0}^n \frac{2}{(k+1)(k+2)(k+3)} & = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k+1} -2 \sum_{k=0}^n \frac{1}{k+2} + \sum_{k=0}^n \frac{1}{k+3}\\
& = \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k} -2 \sum_{k=2}^{n+2} \frac{1}{k} + \sum_{k=3}^{n+3} \frac{1}{k}\\
& = \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - 1 + \frac{1}{n+1} \right) -2 \left (\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - 1 + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} \right) + \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} -1 -\frac{1}{2} + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} \right)\\
& = \frac{1}{2} - \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3}
\end{align}</math>
Donc quand n tend vers l'infini, la limite de <math>S_n</math> existe, donc la série converge.
<math>\lim_{n \to \infty}S_n = \frac{1}{2} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2}{(k+1)(k+2)(k+3)}</math>
===Question 3===
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