« Série numérique/Exercices/Fraction rationnelle » : différence entre les versions
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Ligne 63 :
===Question 3===
<math>\sum_{k=0}^n \frac{1}{k+1} = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} = H_{n+1}</math>
<math>\sum_{k=0}^n \frac{1}{k+2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n+2} = H_{n+2} - 1</math>
<math>\sum_{k=0}^n \frac{1}{k+3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{n+3} = H_{n+3} - 1 - \frac{1}{2}</math>
Soit :
<math>H_{n+1} - 2 H_{n+2} + 2 + H_{n+3} - \frac{3}{2}</math>
<math>= ln(n+1) + \gamma + \epsilon_{n+1} - 2(ln(n+2) + \gamma + \epsilon_{n+2}) + 2 + ln(n+3) + \gamma + \epsilon_{n+3} - \frac{3}{2}</math>
En utilisant les propriétés sur le logarithme :
<math>= ln\left( \frac{(n+1)(n+3)}{(n+2)^2} \right) + \frac{1}{2} + \epsilon_{n+1} - 2 \epsilon_{n+2} + \epsilon_{n+3}</math>
Or
<math>\lim_{n \to \infty} ln \left( \frac{(n+1)(n+3)}{(n+2)^2} \right) = lim_{n \to \infty} ln \left( \cfrac{ \left( 1 + \cfrac{4}{n} + \cfrac{3}{n^2} \right) }{ \left( 1 + \cfrac{4}{n} + \cfrac{4}{n^2} \right) } \right) = 0</math>
Et <math>\lim_{n \to \infty} \epsilon_{n+1} = \lim_{n \to \infty} \epsilon_{n+2} = \lim_{n \to \infty} \epsilon_{n+3} = 0</math>
Donc la suite <math>(S_n)_{n \in \N}</math> converge vers <math>\tfrac{1}{2}</math>, donc la série <math>\sum_{k \ge 0} \frac{2}{(k+1)(k+2)(k+3)}</math> converge, et sa somme est <math>\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2}{(k+1)(k+2)(k+3)} = \frac{1}{2}</math>
[[Catégorie:Séries numériques]]
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