« Série numérique/Exercices/Fraction rationnelle » : différence entre les versions

 

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<math>F(x) = \frac{2}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+2} + \frac{c}{x+3}</math>

 

En déduire que la série <math>\sum_{k \ge 0} \frac{2}{(k+1)(k+2)(k+3)}</math> converge et déterminer sa limite.

 

Soit <math>S_n = \sum_{k=0}^n \frac{2}{(k+1)(k+2)(k+3)}</math>. D'après la question 1, on a :

 

Retrouver le résultat précédent en utilisant le résultat : <math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = ln(n) + \gamma + \epsilon_n</math> avec <math>\lim_{n \to \infty}\epsilon_n = 0</math>, vu dans l'[[Série numérique/Exercices/Série harmonique|exercice 4]].

 

<math>\sum_{k=0}^n \frac{1}{k+1} = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} = H_{n+1}</math>