« Série entière/Exercices/Rayon de convergence 1 » : différence entre les versions

 

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Il faut utiliser le critère de d'Alembert. Soit <math>a_n = \ln(n)</math>

 

* <math>\sum_{n \ge 1}\frac{n^n}{n!}x^n</math>

 

Soit <math>b_n = \frac{n^n}{n!}.</math> D'Alembert : <math>\left| \frac{b_{n+1}}{b_n} \right|</math>

 

 

* <math>\sum_{n \ge 2}\frac{n \ln(n)}{n^2+1}x^n</math>

Soit <math>c_n = \frac{n \ln(n)}{n^2+1}.</math> D'Alembert : <math>\left| \frac{c_{n+1}}{c_n} \right|</math>

 

 

* <math>\sum_{n \ge 0}\frac{x^{2n}}{\binom{2n}{n}}</math>

C'est bien une série entière de la forme <math>\sum_{n \ge 0} d_n x^n</math> mais

 

 

* <math>\sum_{n \ge 0}(-1)^n\frac{5^n}{n^3+1}x^{2n+1}</math>

Les premiers termes de cette série sont : <math>x - \tfrac{5}{2} x^3 + \tfrac{25}{9} x^5 - \cdots</math> Ils s'expriment bien sous la forme <math>\sum_{n \ge 0}e_n x^n</math>, mais

 

 

* <math>\sum_{n \ge 0}\sin(\pi\sqrt{n^2+1})z^n</math>

 

<math>|f_n| = |\sin(\pi\sqrt{n^2+1})|=|\sin(n\pi\sqrt{1+\frac{1}{n^2}})|</math>

 

* <math>\sum_{n \ge 0}\left( \frac{1}{1+\sqrt{n}} \right)^n z^n</math>

<math>= \sum_{n \ge 0} g_n \mbox{ avec } g_n = \left( \frac{1}{1+\sqrt{n}} \right)^n</math>