« Application linéaire/Exercices/Noyau et image » : différence entre les versions

 

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<math>\forall x\in E,~v(u(x))=0\,</math> donc <math>\forall x\in E,~u(x)\in\mathrm{Ker}(v)</math>

 

 

 

On suppose que <math>\mathrm{Ker}(u)\cap\mathrm{Im}(u)=\{0\}</math>.

* Par définition du noyau, <math>\forall x\in\mathrm{Ker}(u),~u(x)=0</math>

Montrer que ces trois endomorphismes ont même noyau et même image.

 

* On suppose <math>x \in \rm{Ker}(u)</math>. On a alors <math>v(x) = (w\circ u)(x) = w(u(x)) = w(0)=0</math>. Donc <math>\rm{Ker}(u) \subset \rm{Ker}(v)</math>. De même, on trouve <math>\rm{Ker}(v) \subset \rm{Ker}(w)</math> et <math>\rm{Ker}(w) \subset \rm{Ker}(u)</math>.