« Géométrie symplectique/Géométrie symplectique linéaire » : différence entre les versions

L'exemple suivant est fondamental :

 

Les coordonnées d'un vecteur de l'espace <math>V=\R^{2n}=\R^n\times \R^n</math> sont notées <math>(q,p)=(q_1,\dots,q_n,p_1,\dots,p_n)</math>. L'espace ''V'' est muni de la forme symplectique :

 

 

 

Procédons par récurrence sur la dimension de ''E''.

 

=== Exemples ===

 

En géométrie symplectique, étant donné un espace vectoriel réel (de dimension finie) ''E'', il est courant de noter les coordonnées d'un point de l'espace <math> E\times E^*</math> sous la forme <math>v=(q,p)</math>. Les dernières coordonnées ''p'' sont pensées comme l'impulsion, les premières ''q'' comme la position. L'espace <math> E\times E^*</math> est alors muni de la forme symplectique suivante :

:<math>\omega_E(v_1,v_2)=p_1(q_2)-p_2(q_1)\,</math>.

 

 

Si (''E'',''g'') est un espace vectoriel euclidien, le dual ''E''_* s'identifie à ''E'' via l'isomorphisme linéaire <math>\scriptstyle E\rightarrow E^*</math> induit par la forme bilinéaire ''g''. La forme symplectique <math>\omega_E</math> définie sur <math>E\times E^*</math> induit alors une forme symplectique sur <math>E\times E</math> :

:<math>\omega_g(v_1\oplus w_1,v_2\oplus w_2)=g(w_1,v_2)-g(v_1,w_2)\,</math>.

 

 

Si (''H'',''h'') est un espace vectoriel hermitien, ''H'' est naturellement muni d'une forme symplectique :

:<center><math>\omega_h(v,w)=\Im \left(h(v,w)\right)</math>.</center>

 

 

* ''<math>g_J</math> est une forme bilinéaire symétrique :''

 

 

 

* ''Existence :''

:Soit ''g'' un produit euclidien sur ''V''. Il existe un unique endomorphisme ''g''-antisymétrique ''A'' tel que, pour tous vecteur ''v'' et ''w'' : <math>g(v,Aw)=\omega(v,w)</math>. La décomposition polaire donne : ''A''=''O''.''J'' où ''O'' est un endomorphisme orthogonal. Alors ''J'' est une structure complexe <math>\omega</math> compatible.

''Note :'' Dans le livre de Michèle Audin, il est rapporté un résultat de Sévennec établissant un difféomorphisme de ''I''(''V'') sur un ouvert de l'espace des matrices symétriques.

 

La multiplication par ''i'' sur un espace hermitien <math>(H,h)</math> est une isométrie ''J'', et donc en particulier, une structure complexe et un isomorphisme symplectique de <math>(H,\omega_h)</math>. On constate que la forme bilinéaire symétrique définie alors par <math>\omega_h</math> et <math>J</math> est <math>g_h=Re h</math>. En particulier, elle est non dégénérées, et donc ''J'' est <math>\omega_h</math>-compatible. La forme hermitienne ''h'' n'est autre que la forme hermitienne associée à <math>(\omega,J)</math>.

}}

 

 

L'espace vectoriel <math>E\oplus E</math> est muni d'une structure presque complexe naturelle <math>J:(q,p)\mapsto (-p,q)</math>. Si ''E'' est munie d'un produit euclidien ''g'', alors ''J'' est <math>\omega_g</math> compatible, et le produit euclidien associé est précisément <math>g\oplus g</math>.

}}

 

 

 

Pour tous sous-espaces ''W''₁ et ''W''₂ d'un espace symplectique <math>(V,\omega)</math>, on a :

L'orthogonal d'un hyperplan ''H'' est une droite ''D''. L'orthogonal de ''D'', à savoir ''H'', doit contenir ''D''. Autrement dit, l'orthogonal de ''H'' est contenu dans ''H'' : tout hyperplan est nécessairement coisotropique.

 

Si <math>(E,\omega)</math> est un espace vectoriel symplectique, l'espace <math>V=E\oplus E</math> est muni de la forme symplectique <math>\omega\oplus-\omega</math>. Le graphe d'une application linéaire <math>T:E\rightarrow E</math> est un sous-espace lagrangien ssi ''T'' est symplectique.

}}