« Géométrie symplectique/Géométrie symplectique linéaire » : différence entre les versions

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L'exemple suivant est fondamental :
 
{{Exemple|titre=Exemple 1|contenu=
| contenu =
Les coordonnées d'un vecteur de l'espace <math>V=\R^{2n}=\R^n\times \R^n</math> sont notées <math>(q,p)=(q_1,\dots,q_n,p_1,\dots,p_n)</math>. L'espace ''V'' est muni de la forme symplectique :
 
 
 
{{Démonstration|contenu=
| contenu =
Procédons par récurrence sur la dimension de ''E''.
 
=== Exemples ===
 
{{Exemple|titre=Exemple 2|contenu=
| contenu =
En géométrie symplectique, étant donné un espace vectoriel réel (de dimension finie) ''E'', il est courant de noter les coordonnées d'un point de l'espace <math> E\times E^*</math> sous la forme <math>v=(q,p)</math>. Les dernières coordonnées ''p'' sont pensées comme l'impulsion, les premières ''q'' comme la position. L'espace <math> E\times E^*</math> est alors muni de la forme symplectique suivante :
:<math>\omega_E(v_1,v_2)=p_1(q_2)-p_2(q_1)\,</math>.
 
 
{{Exemple|titre=Exemple 3|contenu=
| contenu =
Si (''E'',''g'') est un espace vectoriel euclidien, le dual ''E''<sub>*</sub> s'identifie à ''E'' via l'isomorphisme linéaire <math>\scriptstyle E\rightarrow E^*</math> induit par la forme bilinéaire ''g''. La forme symplectique <math>\omega_E</math> définie sur <math>E\times E^*</math> induit alors une forme symplectique sur <math>E\times E</math> :
:<math>\omega_g(v_1\oplus w_1,v_2\oplus w_2)=g(w_1,v_2)-g(v_1,w_2)\,</math>.
 
 
{{Exemple|titre=Exemple 4|contenu=
| contenu =
Si (''H'',''h'') est un espace vectoriel hermitien, ''H'' est naturellement muni d'une forme symplectique :
:<center><math>\omega_h(v,w)=\Im \left(h(v,w)\right)</math>.</center>
 
 
{{Démonstration|titre=Vérifications|contenu=
| contenu =
* ''<math>g_J</math> est une forme bilinéaire symétrique :''
 
 
 
{{Démonstration|contenu=
| contenu =
* ''Existence :''
:Soit ''g'' un produit euclidien sur ''V''. Il existe un unique endomorphisme ''g''-antisymétrique ''A'' tel que, pour tous vecteur ''v'' et ''w'' : <math>g(v,Aw)=\omega(v,w)</math>. La décomposition polaire donne : ''A''=''O''.''J'' où ''O'' est un endomorphisme orthogonal. Alors ''J'' est une structure complexe <math>\omega</math> compatible.
''Note :'' Dans le livre de Michèle Audin, il est rapporté un résultat de Sévennec établissant un difféomorphisme de ''I''(''V'') sur un ouvert de l'espace des matrices symétriques.
 
{{Exemple|titre=Exemple 4 bis|contenu=
| contenu =
La multiplication par ''i'' sur un espace hermitien <math>(H,h)</math> est une isométrie ''J'', et donc en particulier, une structure complexe et un isomorphisme symplectique de <math>(H,\omega_h)</math>. On constate que la forme bilinéaire symétrique définie alors par <math>\omega_h</math> et <math>J</math> est <math>g_h=Re h</math>. En particulier, elle est non dégénérées, et donc ''J'' est <math>\omega_h</math>-compatible. La forme hermitienne ''h'' n'est autre que la forme hermitienne associée à <math>(\omega,J)</math>.
}}
 
 
{{Exemple|titre=Exemple 3 bis|contenu=
| contenu =
L'espace vectoriel <math>E\oplus E</math> est muni d'une structure presque complexe naturelle <math>J:(q,p)\mapsto (-p,q)</math>. Si ''E'' est munie d'un produit euclidien ''g'', alors ''J'' est <math>\omega_g</math> compatible, et le produit euclidien associé est précisément <math>g\oplus g</math>.
}}
 
 
{{Propriété|titre=Propriétés|contenu=
| contenu =
 
Pour tous sous-espaces ''W''₁ et ''W''₂ d'un espace symplectique <math>(V,\omega)</math>, on a :
L'orthogonal d'un hyperplan ''H'' est une droite ''D''. L'orthogonal de ''D'', à savoir ''H'', doit contenir ''D''. Autrement dit, l'orthogonal de ''H'' est contenu dans ''H'' : tout hyperplan est nécessairement coisotropique.
 
{{Exemple|titre=Exemple 5|contenu=
| contenu =
Si <math>(E,\omega)</math> est un espace vectoriel symplectique, l'espace <math>V=E\oplus E</math> est muni de la forme symplectique <math>\omega\oplus-\omega</math>. Le graphe d'une application linéaire <math>T:E\rightarrow E</math> est un sous-espace lagrangien ssi ''T'' est symplectique.
}}
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