« Réduction des endomorphismes/Exponentielle d'une matrice » : différence entre les versions

 

 

On démontre que la série <math>\sum \frac{A^k}{k!}</math> converge normalement.

 

== Propriétés ==

 

Soient '''A''' et '''B''' deux matrices carrées ''n x n''

 

 

 

Les 2 premières propriétés sont évidentes.

 

 

 

il suffit de remarquer que -A commute avec A donc <math>exp(A) \cdot exp(-A) = exp(A-A) = e^0 = I_n</math>

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== Calculs d'exponentielles matricielles ==

Soit A une matrice diagonalisable telle que <math>A=P \cdot \begin{pmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_n \end{pmatrix} \cdot P^{-1}</math>, alors

 

 

 

Soit A une matrice nilpotente, c'est-à-dire telle que <math>\exists q \in [| 1, n |] \text{ tq } A^q=0</math>, alors l'exponentielle se transforme en somme finie et

 

 

 

Soit A une matrice, on la réduit sous la forme de Jordan. Puis on exponentialise dans chaque sous-espace propre en utilisant les 2 méthodes ci-dessus ''(A compléter)''

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