« Série entière/Exercices/Rayon de convergence 1 » : différence entre les versions
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<math>\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{\ln(n+1)}{\ln(n)}.</math> Or <math>\lim_{n\to \infty} \frac{\ln(n+1)}{\ln(n)} = 1 = \lambda</math>
Le rayon de convergence est égal à <math>\tfrac{1}{\lambda}</math> donc RCV = 1.
}} * <math>\sum_{n \ge 1}\frac{n^n}{n!}x^n</math>
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Et on a vu dans l'[[Série numérique/Exercices/Cauchy et d'Alembert|exercice 9]] dans le chapitre sur les [[Série numérique|séries numériques]], que <math>\lim_{n\rightarrow \infty} (1+\tfrac{1}{n})^n = e</math>
<math>R = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{e}</math>
}} * <math>\sum_{n \ge 2}\frac{n \ln(n)}{n^2+1}x^n</math>
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Et <math>\lim_{n \to \infty} \frac{\ln(1+\tfrac{1}{n})}{\ln(n)} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(1+\tfrac{1}{n})}{n\ln(n)} = 0</math> et <math>\lim_{n \to \infty} \frac{(1+\tfrac{1}{n^2})}{(1 + \tfrac{2}{n} + \tfrac{2}{n^2})} = 1</math> donc <math>\lambda = 1\,</math> donc <math>R = 1\,</math>
}} * <math>\sum_{n \ge 0}\frac{x^{2n}}{\binom{2n}{n}}</math>
{{Solution
| contenu =
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* si <math>|x| > 2,\ \sum_{n \ge 0}\frac{1}{\binom{2n}{n}}x^{2n}</math> diverge.
D'où <math>R = 2.</math>
}} * <math>\sum_{n \ge 0}(-1)^n\frac{5^n}{n^3+1}x^{2n+1}</math>
{{Solution
| contenu =
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D'après le critère de d'Alembert, si <math>5x^2 < 1\,</math>, ce qui équivaut à <math>x^2 < \tfrac{1}{5}</math>, ce qui équivaut à <math>|x| < \tfrac{1}{\sqrt{5}}</math>, alors <math>\sum_{n \ge 0}u_n</math> converge absolument.
Si <math>5x^2 > 1\,</math>, ce qui équivaut à <math>|x| > \tfrac{1}{\sqrt{5}}</math>, alors <math>\sum_{n \ge 0}u_n</math> diverge grossièrement. Donc le rayon de convergence de la série est <math>\tfrac{1}{\sqrt{5}}</math>.
}} * <math>\sum_{n \ge 0}\sin(\pi\sqrt{n^2+1})z^n</math>
{{Solution
| contenu =
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donc <math> |f_n|=|\sin(n\pi(1-\frac{1}{2n^2}+o(\frac{1}{n^2}))|=|\sin(n\pi-\frac{\pi}{2n}+o(\frac{1}{n})|=|\sin(\frac{\pi}{2n}+o(\frac{1}{n})|</math>
Ainsi, on a l'équivalent <math>|f_n|</math> est équivalent à <math>\frac{\pi}{2n}</math> donc le rapport <math>|\frac{f_{n+1}}{f_n}|</math> tend vers 1 et donc <math>R=1</math>
}}
* <math>\sum_{n \ge 0}\left( \frac{1}{1+\sqrt{n}} \right)^n z^n</math>
{{Solution
| contenu =
Ligne 140 ⟶ 148 :
<math>|g_n|^{1/n} = \frac{1}{1 + \sqrt{n}} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} 0 = \lambda.</math>
<math>R = \frac{1}{\lambda} = +\infty.</math>
}} [[Catégorie:Série entière]]
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