« Équation du troisième degré/Exercices/Résolution par la méthode de Cardan » : différence entre les versions
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→Exercice 4-3. : Rédaction |
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Ligne 43 :
{{Solution
|contenu=
α) L'équation :
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:<math> \frac{4x^2}{3} = \frac{\sqrt{3} - 6x}{2x - \sqrt{27}} ~</math>
Se met sous la forme :
:<math> 8x^3 - 12x^2\sqrt{3} +18x - 3\sqrt{3} = 0 ~</math>
Calculons le discriminant de cette équation.
On a :
:<math> a = 8 \quad b = -12\sqrt{3} \quad c =18 \quad d = -3\sqrt{3} ~</math>
Et donc :
:<math> \Delta = b^2c^2 + 18abcd - 27a^2d^2 -4ac^3 - 4b^3d = 0 ~</math>
Calculons p et q :
:<math> p = \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2} </math>
:<math> q = \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a} </math>
Il s'ensuit que les trois racines de l'équation à résoudre sont :
:<math> x_1 = \frac{3q}{p} - \frac{b}{3a} ~</math>
:<math> x_2 = x_3 = -\frac{3q}{2p} - \frac{b}{3a} ~</math>
β) L'équation :
:<math> x^3 - 5x^2 + x - 1 = 4x\sqrt{2} ~</math>
se met sous la forme :
:<math> x^3 - 5x^2 + (1 - 4\sqrt{2})x - 1 = 0 ~</math>
Calculons le discriminant de cette équation.
On a :
:<math> a = 1 \quad b = -5 \quad c = 1 - 4\sqrt{2} \quad d = -1 ~</math>
Et donc :
:<math> \Delta = b^2c^2 + 18abcd - 27a^2d^2 -4ac^3 - 4b^3d = 0 ~</math>
Calculons p et q :
:<math> p = \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2} </math>
:<math> q = \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a} </math>
Il s'ensuit que les trois racines de l'équation à résoudre sont :
:<math> x_1 = \frac{3q}{p} - \frac{b}{3a} ~</math>
:<math> x_2 = x_3 = -\frac{3q}{2p} - \frac{b}{3a} ~</math>
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==Exercice 4-4.==
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