« Équation du troisième degré/Exercices/Résolution par la méthode de Cardan » : différence entre les versions
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Ligne 122 :
{{Solution
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'''Première méthode'''
Nous voyons que l'équation admet la racine évidente x<sub>1</sub> = 1. Nous pouvons donc la factoriser par x - 1.
Nous obtenons :
<math> (x - 1)(x^2 + mx + 2) = 0 ~</math>
Cette factorisation a été faites de façon à ce qu'en développant, on retrouve le terme de plus haut degré et le terme constant. Il nous reste à déterminer m. Pour cela on redéveloppe :
<math> x^3 + (m-1)x^2 + (2 -m)x - 2 = 0 ~</math>
Et l'on identifie avec l'équation initiale. On obtient :
<math>\begin{cases}
m - 1 = -2 \\
2 - m = 3
\end{cases}</math>
Dans les deux cas, on voit que m = -1. L'équation factorisée s'écrit donc :
<math> (x - 1)(x^2 - x + 2) = 0 ~</math>
Il nous reste à résoudre :
<math> x^2 - x + 2 = 0 ~</math>
Calculons le discriminant :
<math> \Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times 2 = -7 = \left(i \sqrt{7} \right)^2 ~</math>
Les deux racines de la dernière équation du second degré sont donc :
<math>\begin{cases}
x_2 = \frac{1 + i\sqrt{7}}{2} \\
x_3 = \frac{1 - i\sqrt{7}}{2}
\end{cases}</math>
Finalement les trois racines de l'équation :
<math> x^3 - 2x^2 + 3x - 2 =0 ~</math>
sont :
<math>\begin{cases}
x_1 = 1 \\
x_2 = \frac{1 + i\sqrt{7}}{2} \\
x_3 = \frac{1 - i\sqrt{7}}{2}
\end{cases}</math>
'''Deuxième méthode'''
'''Conclusion'''
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