« Équation du troisième degré/Exercices/Résolution par la méthode de Cardan » : différence entre les versions
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Ligne 177 :
'''Deuxième méthode'''
Dans :
<math> x^3 - 2x^2 + 3x - 2 =0 ~</math>
Posons :
:<math>x = z + \frac{2}{3}</math>
On obtient aprés simplification :
<math> 27z^3 + 45z - 16 =0 ~</math>
Posons ensuite :
:<math>x = u + v ~</math>
On obtient :
:<math>27(u+v)^3+45(u+v)- 16 = 0 ~</math>
Qui se simplifie sous la forme :
:<math> 27\left(u^3+v^3\right)+9(9uv+5)(u+v)-16=0 ~</math>
Nous poserons alors :
:<math>9uv+5 = 0 ~</math>
Soit :
:<math>uv = -\frac{5}{9} ~</math>
On obtient le système :
:<math>\begin{cases}
u^3+v^3 = \frac{16}{27} = \frac{432}{729} \\
u^3v^3 = -\frac{125}{729}
\end{cases}</math>
u<sup>3</sup> et v<sup>3</sup> sont alors les racines de l'équation :
:<math>729X^2 - 432X + 125 = 0 ~</math>
Les deux racines de cette équation sont :
:<math>\begin{cases}
u^3 = \frac{8+\sqrt{61}}{27} \\
v^3 = \frac{8-\sqrt{61}}{27}
\end{cases}</math>
Compte tenue de la condition :
:<math>uv = -\frac{5}{9} ~</math>
on en déduit :
:<math>
\begin{cases}
u = \sqrt[3]{\frac{8+\sqrt{61}}{27}} \\
v = \sqrt[3]{\frac{8-\sqrt{61}}{27}}
\end{cases}
ou \quad
\begin{cases}
u = j\sqrt[3]{\frac{8+\sqrt{61}}{27}} \\
v = j^2\sqrt[3]{\frac{8-\sqrt{61}}{27}}
\end{cases}
ou \quad
\begin{cases}
u = j^2\sqrt[3]{\frac{8+\sqrt{61}}{27}} \\
v = j\sqrt[3]{\frac{8-\sqrt{61}}{27}}
\end{cases}
</math>
En reportant dans z = u + v, on obtient :
:<math>\begin{cases}
z_1 = \sqrt[3]{\frac{8+\sqrt{61}}{27}} + \sqrt[3]{\frac{8-\sqrt{61}}{27}} \\
z_2 = j\sqrt[3]{\frac{8+\sqrt{61}}{27}} + j^2\sqrt[3]{\frac{8-\sqrt{61}}{27}} \\
z_3 = j^2\sqrt[3]{\frac{8+\sqrt{61}}{27}} + j\sqrt[3]{\frac{8-\sqrt{61}}{27}}
\end{cases}</math>
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