« Équation du troisième degré/Exercices/Résolution par la méthode de Cardan » : différence entre les versions

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Ligne 184 :
Posons :
 
:<math>x = z + \frac{2}{3} ~</math>
 
On obtient aprés simplification :
Ligne 192 :
Posons ensuite :
 
:<math>xz = u + v ~</math>
 
On obtient :
Ligne 219 :
u<sup>3</sup> et v<sup>3</sup> sont alors les racines de l'équation :
 
:<math>729X^2 - 432X +- 125 = 0 ~</math>
 
Les deux racines de cette équation sont :
 
:<math>\begin{cases}
u^3 = \frac{8+3\sqrt{6121}}{27} \\
v^3 = \frac{8-3\sqrt{6121}}{27}
\end{cases}</math>
 
Ligne 236 :
:<math>
\begin{cases}
u = \sqrt[3]{\frac{8+3\sqrt{6121}}{27}} \\
v = \sqrt[3]{\frac{8-3\sqrt{6121}}{27}}
\end{cases}
ou \quad
\begin{cases}
u = j\sqrt[3]{\frac{8+3\sqrt{6121}}{27}} \\
v = j^2\sqrt[3]{\frac{8-3\sqrt{6121}}{27}}
\end{cases}
ou \quad
\begin{cases}
u = j^2\sqrt[3]{\frac{8+3\sqrt{6121}}{27}} \\
v = j\sqrt[3]{\frac{8-3\sqrt{6121}}{27}}
\end{cases}
</math>
Ligne 254 :
 
:<math>\begin{cases}
z_1 = \sqrt[3]{\frac{8+3\sqrt{6121}}{27}} + \sqrt[3]{\frac{8-3\sqrt{6121}}{27}} \\
z_2 = j\sqrt[3]{\frac{8+3\sqrt{6121}}{27}} + j^2\sqrt[3]{\frac{8-3\sqrt{6121}}{27}} \\
z_3 = j^2\sqrt[3]{\frac{8+3\sqrt{6121}}{27}} + j\sqrt[3]{\frac{8-3\sqrt{6121}}{27}}
\end{cases}</math>
 
En reportant dans :
 
:<math>x = z + \frac{2}{3} ~</math>
 
On trouve finalement :
 
:<math>\begin{cases}
x_1 = \sqrt[3]{\frac{8+3\sqrt{21}}{27}} + \sqrt[3]{\frac{8-3\sqrt{21}}{27}} + \frac{2}{3} \\
x_2 = j\sqrt[3]{\frac{8+3\sqrt{21}}{27}} + j^2\sqrt[3]{\frac{8-3\sqrt{21}}{27}} + \frac{2}{3} \\
x_3 = j^2\sqrt[3]{\frac{8+3\sqrt{21}}{27}} + j\sqrt[3]{\frac{8-3\sqrt{21}}{27}} + \frac{2}{3}
\end{cases}</math>
 
 
'''Conclusion'''
 
Chacune des deux méthodes précédentes nous donne une racine réelle et deux racines complexes conjuguées. Il est donc évident que les racines réelles données par les deux méthodes sont égales. Ce qui se traduit par :
 
<math> \sqrt[3]{\frac{8+3 \sqrt{21}}{27}} + \sqrt[3]{\frac{8-3 \sqrt{21}}{27}} + \frac{2}{3} = 1 ~</math>
 
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