« Série numérique/Exercices/Série harmonique » : différence entre les versions

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== Question 3 ==
 
En éduire que <math>\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = \ln(n) + \gamma + \epsilon_n</math> avec <math>\lim_{n \to \infty} \epsilon_n = 0.</math>
 
{{Solution
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Exprimer <math>H_n</math> en fonction de <math>v_n</math> :
 
<math>H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}</math> et <math>v_n = H_n - \ln(n)</math>
 
<math>v_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n)</math>
 
<math>H_n = v_n + \ln(n) + \gamma - \gamma</math>
 
<math>H_n = v_n + \ln(n) + \gamma - \gamma = \ln(n) + \gamma + (v_n - \gamma)</math>
 
En posant <math>\epsilon_n = v_n - \gamma</math> et <math>\lim_{n \to \infty} \epsilon_n = 0</math> on a bien <math>H_n = \ln(n) + \gamma + \epsilon_n</math>}}
 
[[Catégorie:Série numérique]]