« Espace préhilbertien réel/Produit scalaire » : différence entre les versions

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* La norme associée est la norme 2 : <math>\forall u\in E,~||u||_2=\sqrt{\sum_{n=0}^{+\infty}u_n^2}</math>
* L'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit : <math>\forall(u,v)\in E^2,~\left(\sum_{n=0}^{+\infty}u_nv_n\right)^2\leq \left(\sum_{n=0}^{+\infty}u_n^2\right)\left(\sum_{n=0}^{+\infty}v_n^2\right)</math>}}
 
{{exemple|titre=Produit scalaire dans <math>R^{np}</math>|contenu=
On pose :
*<math>E=\R^{np}</math>
*<math> A=(a_{i,j})_{1\le i\le n,\ 1\le j\le p}</math> et <math> B=(b_{i,j})_{1\le i\le n,\ 1\le j\le p}</math> deux matrices dans <math>\mathcal M_{n,p}(\R)</math>
 
On définit le produit scalaire usuel <math> (A\mid B) = \sum_{1\le i\le n,\ 1\le j\le p} a_{i,j}b_{i,j} = \mathrm{Tr}(^tAB)=\mathrm{Tr}(^tBA)</math>
* L'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit : <math>\sum_{1\le i\le n,\ 1\le j\le p} a_{i,j}b_{i,j}\leq \left(\sum_{1\le i\le n,\ 1\le j\le p} a_{i,j}^2\right)\left(\sum_{1\le i\le n,\ 1\le j\le p} b_{i,j}^2\right)</math>
ou <math>\mathrm{Tr}(^tBA)\leq \left(\mathrm{Tr}(^tAA)\right)\left(\mathrm{Tr}(^tBB)\right)</math>}}