« Fondements des mathématiques/Les expressions formelles, les ensembles et les fonctions » : différence entre les versions

La question de l’existence est aussi nommée la question ontologique. L’ontologie d’une théorie, c’est l’ensemble de tous les énoncés d’existence des objets qu’elle étudie.

 

 

Si on définit les mathématiques comme la science des formes de déduction, la question ontologique ne se pose pas. On suppose que les prémisses sont vraies. Tous les énoncés d’existence qu’elles contiennent sont des hypothèses dont la vérité dépend des objets (non-mathématiques) auxquels elles sont appliquées. Autrement dit tous les énoncés d’existence mathématique auraient un caractère hypothétique. Mais cette approche ne rend pas complètement compte des questions qui se posent aux mathématiciens.

De l’examen des réponses il faut conclure qu’un tel barbier ne peut pas exister. De la même façon un ensemble qui contiendrait tous les ensembles qui ne sont pas dans eux-mêmes ne peut pas exister. Autrement dit, toute ontologie des extensions conceptuelles ne peut pas donner l’existence à l’extension du concept de ne pas être élément de soi-même sous peine d’être contradictoire.

 

 

Un concept existe dès qu’il fait partie d’une théorie sensée. L’ensemble des nombres entiers n’est pas un nombre entier et n’est donc pas élément de lui-même. C’est sensé. Le concept de ne pas être élément de soi-même existe donc. Seule son extension conceptuelle ne peut pas exister. Le concept du barbier ci-dessus existe et a une extension conceptuelle. Elle est tout simplement vide. Le concept de ne pas être élément de soi-même existe mais n’a pas d’extension conceptuelle. S’il en avait une, elle ne pourrait pas être vide, puisqu’il y a des ensembles qui ne sont pas éléments d’eux-mêmes. Appelons concepts extensionnels les concepts qui ont une extension. Russell a prouvé qu’une théorie générale des concepts ne peut pas se limiter aux concepts extensionnels.

Un même ensemble peut être défini et nommé de plusieurs façons. Comment sait-on qu’il s’agit toujours du même ensemble ? Il suffit de montrer qu’il y a toujours les mêmes éléments. Plus précisément, deux ensembles E et F sont égaux lorsque tout élément de E est élément de F et réciproquement. C’est l’axiome d’extensionalité.

 

 

L’extension d’un prédicat, c’est l’ensemble de tous les êtres pour lesquels ce prédicat est vrai. L’axiome d’extensionnalité ne fait qu’énoncer la propriété essentielle des extensions, c’est-à-dire des ensembles.

Tant que le domaine d’une fonction est un ensemble, l’ontologie des fonctions peut être réduite à celle des ensembles. Mais ce n’est pas toujours le cas. De telles fonctions, ou superfonctions, dont le domaine n’est pas un ensemble, sont utilisées dans toutes les théories des ensembles, parce qu’elles sont indispensables, mais elles ne sont pas considérées comme des fonctions ni vraiment comme des êtres mathématiques, mais seulement comme des auxiliaires du raisonnement, parce que l’ontologie strictement ensembliste interdit de leur donner l’existence. Telles sont par exemple, les fonctions de réunion et d’intersection d’ensembles.

 

 

== La théorie cantorienne des nombres infinis ==

Pour prouver que l’ensemble infini de tous les mots est dénombrable il suffit de définir un ordre, par exemple un ordre de type lexicographique, sur cet ensemble. L’existence de la fonction inversible qui associe à chaque mot son numéro d’ordre suffit pour terminer la preuve.

 

 

À partir des théorèmes de Cantor et de la dénombrabilité de tout ensemble de noms, on peut conclure que si un ensemble E est infini, alors l’ensemble P(E) de ses parties est indicible.