« Fondements des mathématiques/Des preuves de cohérence » : différence entre les versions

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Les sophismes et les paradoxes montrent que les évidences naturelles peuvent conduire à des absurdités. Les prémisses choisies comme point de départ semblent vraies, ou au moins acceptables, les étapes du raisonnement semblent correctes et pourtant la conclusion est absurde. Dans les sophismes on arrive à reconnaître une sorte de malveillance à l’égard du langage. L’indétermination partielle des significations des notions familières est utilisée pour duper l’auditoire. Typiquement pour faire un sophisme il suffit de se servir du même mot en deux sens différents sans souligner cette nécessaire distinction. Les méthodes formelles permettent de se protéger contre les sophismes parce qu’elles imposent de tout expliciter. La confusion des significations n’est alors plus possible.
 
Les sophismes n’épuisent pas toutes les absurdités que l’on peut trouver à partir des évidences naturelles. Dans certains cas très importants, le raisonnement qui conduit à une conclusion absurde résiste aux efforts de clarification des significations. Dans ce cas, il s’agit d’un paradoxe. Donnons un exemple. Que toute phrase qui a un sens précis et non-équivoque soit nécessairement ou bien vraie, ou bien non, semble être un principe naturel de la raison. Considérons alors la phrase suivante. Cette phrase est fausse. Elle a un sens précis et non équivoque quand son sujet, “cette« phrase”cette phrase » renvoie à la phrase complète. Est-elle vraie ? Si elle était vraie, elle serait fausse. On voudrait en conclure qu’elle n’est pas vraie mais cette option aussi est interdite parce qu’alors elle serait vraie. Elle ne peut donc être ni vraie, ni fausse, contrairement au principe pourtant naturel qui a été précédemment énoncé.
 
Le paradoxe du menteur, qui vient d’être présenté, est comme beaucoup d’autres paradoxes, très important pour la recherche des vérités. Le chapitre 4 a rappelé son importance dans les preuves d’incomplétude des principes mathématiques.