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« Ensemble des nombres réels et sous-ensembles/Exercices/Intervalles » : différence entre les versions

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Ligne 40 :
 
{{Solution}}
 
== Exercice 5 ==
'''1.''' Résoudre dans <math>\R</math> l'équation : <math>|x-3|=|x+1|\,</math>.
 
{{Solution
| contenu =
<math>|x-3|=|x+1|\,</math>
 
<math>\Leftrightarrow x-3=x+1 ~ou~ x-3 = -(x+1)\,</math>
 
<math>\Leftrightarrow x-x=1+3 ~ou~ x-3 = -x-1\,</math>
 
<math>\Leftrightarrow 0x=4 ~ou~ x+x = -1+3\,</math>
 
<math>\Leftrightarrow 0x=4 ~ou~ 2x=2\,</math>
 
<math>\Leftrightarrow 0x=4 ~ou~ x=1\,</math>
 
La première équation est impossible, il n'y qu'un seule solution, <math> ~ \ S ={1}. </math>
}}
 
'''2.''' Résoudre dans <math>\R</math> l'inéquation : <math>|x-8|<5\,</math>.
 
{{Solution
| contenu =
<math>|x-8|<5\,</math>
 
<math>\Leftrightarrow x-8 < 5 ~et~ x-8 > -5,</math>
 
<math>\Leftrightarrow x < 5+8 ~et~ x > -5+8,</math>
 
<math>\Leftrightarrow x < 13 ~et~ x > 3,</math>
 
<math> \ S = ]3 ; 13[. </math>
}}
 
'''3.''' Résoudre dans <math>\R</math> l'inéquation : <math>|2x-11|<|x-5|\,</math>.
{{Solution
| contenu =
On rappelle que résoudre l'inéquation <math> \ |A(x)| < |B(x)| </math> revient à résoudre les 2 encadrements suivants :
 
<math> si ~ B(x) \geq 0 : -B(x) < A(x) < B(x) </math>
 
<math> \ si ~ B(x) < 0 : B(x) < A(x) < - B(x) </math>
 
'''1 cas :'''
<math> si ~ x-5 \geq 0 </math> c'est à dire <math> si ~ x \geq 5 </math>, on doit résoudre l'encadrement <math> \ -(x-5) < 2x -11 < x- 5, </math>
 
<math> -x + 5 < 2x - 11 ~ et ~ 2x - 11 < x - 5 </math>
 
<math> -3x < -16 ~ et ~ x < 6 </math>
 
<math> x > \frac{16}{3} ~ et ~ x < 6 </math>
 
On obtient alors le premier intervalle [5 ; 6 [
 
'''2 cas :'''
<math> si ~ x-5 < 0 </math> c'est à dire <math> si ~ x < 5 </math>, on doit résoudre l'encadrement <math> \ x-5 < 2x -11 < -(x- 5), </math>
 
<math> x - 5 < 2x - 11 ~ et ~ 2x - 11 < -x + 5 </math>
 
<math> -x < -6 ~ et ~ 3x < 16 </math>
 
<math> x > 6 ~ et ~ x < \frac{16}{3} </math>
 
Ce deuxième cas n'admet pas de solution.
 
Finalement S = [5 ; 6 [
 
 
 
 
 
}}
 
== Exercice 6 ==
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