« Application linéaire/Exercices/Application directe » : différence entre les versions

 

 

Soit <math>(\lambda,v_1,v_2)\in\R\times\left(\R^3\right)^2</math> avec

<math>v_1\begin{array}{|l}x_1\\y_1\\z_1\end{array}</math> et <math>v_2\begin{array}{|l}x_2\\y_2\\z_2\end{array}</math>

Donc pour tout <math>(\lambda,v_1,v_2)\in\R\times\left(\R^3\right)^2,~u_1(\lambda v_1+v_2)=\lambda u_1(v_1)+u_1(v_2)</math>

 

 

<math>u_2(0,1,0)=0\,</math> et <math>u_2(0,2,0)=-2\,</math>

 

Or, si u₂ était une application linéaire, on devrait avoir <math>u_2(0,2,0)=2\,u_2(0,1,0)\,</math>

 

 

<math>u_3(1,0,1)=1\,</math> et <math>u_3(2,0,2)=4\,</math>

 

Or, si u₃ était une application linéaire, on devrait avoir <math>u_3(2,0,2)=2\,u_3(1,0,1)\,</math>

 

Soit <math>(\lambda,v_1,v_2)\in\R\times\left(\R^3\right)^2</math> avec

<math>v_1\begin{array}{|l}x_1\\y_1\\z_1\end{array}</math> et <math>v_2\begin{array}{|l}x_2\\y_2\\z_2\end{array}</math>

Donc pour tout <math>(\lambda,v_1,v_2)\in\R\times\left(\R^3\right)^2,~u_4(\lambda v_1+v_2)=\lambda u_4(v_1)+u_4(v_2)</math>

 

 

== Automorphisme ==

Donc tout vecteur <math>v\begin{array}{|l}x\\y\end{array} \in E</math> admet un unique antécédent par l'application ''u'', donc ''u'' est bijective.

 

:<math>\begin{array}{ccccc}

u^{-1}&:&\R^2&\rightarrow&\R^2\\

~&~&(x,y)&\mapsto&\left(\frac12(x-y),\frac12(x+y)\right)

 

== Forme linéaire ==

Donc ''l'' est une application linéaire de E sur <math>\R</math>. De plus, E est un <math>\R</math>-espace vectoriel et l est bien à valeurs dans <math>\R</math>.

 

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