« Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Récurrence affine d'ordre 2 » : différence entre les versions
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\end{align}</math>
{{cadre simple
| contenu = <math>a_n=(-2)^n\left (a_0+\frac43\right )-\frac43</math> }} '''2.''' La convergence de (a<sub>n</sub>) dépend alors de la valeur de a₀ :
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{{Solution
| contenu =
▲{{Solution|titre=Calcul de (u<sub>n</sub>)|contenu=
* On commence par résoudre l'«équation homogène associée à (u<sub>n</sub>)» : <math>5u_{n+2}-4u_{n+1}-u_n=0\,</math>.
* L'équation caractéristique associée est <math>5X^2-4X-1=0\,</math>.
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* La résolution de ce système par une méthode au choix donne <math>(\alpha,\beta)=\left ( \frac7{12},\frac5{12}\right )</math>
{{cadre simple
| contenu = Finalement : <math>\forall n \in \N,~u_n=\frac7{12}+\frac5{12} \left (-\frac15 \right )^n+\frac n2</math> }} }} {{Solution
| titre = Calcul de (v<sub>n</sub>) | contenu = * L'équation de récurrence vérifiée par (v<sub>n</sub>) peut se réécrire <math>4v_{n+2}-3v_{n+1}+6v_n=20\,</math>.
* On commence par résoudre l'«équation homogène associée à (v<sub>n</sub>)» : <math>4v_{n+2}-3v_{n+1}+6v_n=0\,</math>.
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* Tous calculs faits, on obtient <math>(A,B)=\left (-\frac{13}7,-\frac{59\sqrt{87}}{203}\right )</math>
{{cadre simple
{{cadre simple|contenu=Finalement : <math>\forall n \in \N,~v_n=\left ( \frac{\sqrt6}2\right )^n \left (-\frac{13}7 \cos \left (n \arctan \left ( \frac{\sqrt{87}}3 \right ) \right )-\frac{59\sqrt{87}}{203}\sin \left (n \arctan \left ( \frac{\sqrt{87}}3 \right ) \right ) \right )+\frac{20}7</math>}}}}▼
| contenu =
▲
}}
}}
{{Solution
| titre = Solution de la question 2 | contenu = * <math>\forall n \in \N,~u_n=\frac7{12}+\frac5{12} \left (-\frac15 \right )^n+\frac n2</math>
** <math>\left |-\frac15 \right |<1</math> donc <math>\left (\left (-\frac15 \right )^n \right )_{n \in \N}</math> tend vers 0
* {{cadre simple|contenu=Donc <math>\lim_{n \rightarrow +\infty} u_n=+\infty</math>}}▼
{{cadre simple
| contenu =
}}
* <math>\forall n \in \N,~v_n=\left ( \frac{\sqrt6}2\right )^n \left (-\frac{13}7 \cos \left (n \arctan \left ( \frac{\sqrt{87}}3 \right ) \right )-\frac{59\sqrt{87}}{203}\sin \left (n \arctan \left ( \frac{\sqrt{87}}3 \right ) \right ) \right )+\frac{20}7</math>
* <math>\frac{\sqrt6}2>1</math>
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Sous cette forme, il apparaît bien que <math>(x_n)_{n\in\mathbb N}</math> n'admet pas de limite.
{{cadre simple
| contenu = Donc (v<sub>n</sub>) n'admet pas de limite en <math>+\infty</math> }} }}
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