« Équation du troisième degré/Exercices/Résolution par la méthode de Cardan » : différence entre les versions

Contenu supprimé Contenu ajouté
→‎Exercice 4-1. : Rédaction
Ligne 17 :
 
 
{{Solution}}
|contenu=
 
Nous avons une équation de la forme :
<br />
 
:<math> ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 ~</math>
 
avec :
 
:<math> a = 1 \qquad b = -5 \qquad c = 2 \qquad d = -3 ~</math>
 
Pour supprimer le monôme de degré deux, nous commencerons par faire le changement de variable :
 
:<math> x = z - \frac{b}{3a} = z + \frac{5}{3} ~</math>
 
Nous obtenons :
 
:<math> (z + \frac{5}{3})^3 - 5(z + \frac{5}{3})^2 + 2(z + \frac{5}{3}) - 3 = 0 ~</math>
 
En développant et en réduisant les termes semblables, on obtient :
 
:<math> 27z^3 - 171z - 241 = 0 ~</math>
 
Posons :
 
:<math> z = u + v ~</math>
On obtient :
 
:<math> 32(u + v)^3 - 870(u + v) - 2105 = 0 ~</math>
 
Qui peut s'écrire :
 
:<math> 32(u^3 + v^3) + (96uv - 870)(u + v) - 2105 = 0 ~</math>
 
Posons :
 
:<math> uv = \frac{870}{96} = \frac{145}{16} ~</math>
 
On obtient :
 
:<math> \left\{\begin{matrix} u^3 + v^3 = \frac{2105}{32} \\ u^3v^3 = \frac{3048625}{4096} \end{matrix}\right. </math>
 
u{{exp|3}} et v{{exp|3}} sont donc racines de l'équation :
 
:<math> 4096X^2 - 269440X + 3048625 = 0 ~</math>
 
Qui a pour racine :
 
:<math> \left\{\begin{matrix} u^3 = \frac{5(96\sqrt{6} + 421)}{64} \\ v^3 = \frac{-5(96\sqrt{6} - 421)}{64} \end{matrix}\right. </math>
 
Tout cela pour dire en fait que ''u'' a trois valeurs possibles qui sont :
 
:<math> u = \sqrt[3]{\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}} \qquad ou \qquad u = j.\sqrt[3]{\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}} \qquad ou \qquad u = j^2.\sqrt[3]{\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}} ~</math>
 
et ''v'' a aussi trois valeurs possibles qui sont :
 
:<math> v = \sqrt[3]{\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}} \qquad ou \qquad v = j.\sqrt[3]{\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}} \qquad ou \qquad v = j^2.\sqrt[3]{\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}} ~</math>
 
Nous devons ensuite en déduire ''x'' en ajoutant une valeur de ''u'' avec une valeur de ''v''.
 
Comment savoir quelle valeur de ''u'' va avec quelle valeur de ''v'' ?
 
Nous devons choisir une valeur de ''u'' et une valeur de ''v'' vérifiant la relation posée plus haut :
 
:<math> uv = -1 ~</math>
 
Compte tenu du fait que ''j''{{exp|3}} = 1, nous accouplerons ''u'' et ''v'' de la façon suivante :
 
:<math> \left\{\begin{matrix} u = \sqrt[3]{\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}} \\ v = \sqrt[3]{\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}} \end{matrix}\right.\qquad ou \qquad \left\{\begin{matrix} u = j.\sqrt[3]{\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}} \\ v = j^2.\sqrt[3]{\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}} \end{matrix}\right.\qquad ou \qquad \left\{\begin{matrix} u = j^2.\sqrt[3]{\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}} \\ v = j.\sqrt[3]{\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}} \end{matrix}\right. </math>
 
Comme ''x'' = ''u'' + ''v'', nous en déduisons bien trois racines pour notre équation qui sont :
 
{{Cadre simple
|contenu=
<math> x_1 = \sqrt[3]{\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}}~</math>
 
<math> x_2 = j.\sqrt[3]{\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}} + j^2.\sqrt[3]{\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}}~</math>
 
<math> x_3 = j^2.\sqrt[3]{\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}} + j.\sqrt[3]{\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}}~</math>
}}
 
}}
 
<br />
 
==Exercice 4-2.==