« Fonctions d'une variable complexe/Théorèmes de Liouville et de Weierstrass » : différence entre les versions

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Si <math> f</math> est holomorphe dans <math>\mathbb{C}</math> et si il existe <math>N \in \mathbb{N}</math> et <math>C>0</math> tels que: <math>|f(z)|\leq C(1+|z|)^{N} \; \; \forall z \in \mathbb{C}</math> </br>
alors <math>f</math> est un polynôme de degré inférieur ou égal à <math>N</math>
}}
==Principe du (module) maximum==
Ce théorème énonce qu'une fonction holomorphe sur un ouvert connexe de <math>\mathbb{C}</math> dont le module admet un maximum local dans cet ouvert est constante. </br>
Il indique aussi que le module d'une fonction holomorphe sur un ouvert connexe réalise sa borne supérieure sur la forntière de l'adhérence de cet ouvert connexe.
{{Théorème
|titre=Principe du maximum
|contenu=
-Si <math>f</math> est holomorphe dans l'ouvert <math>\Omega \subset \mathbb{C}</math> connexe et si il existe <math>z_{0} \in \Omega</math> tel que <math>|f(z_{0})|\geq |f(z)| \; \; \forall z</math> dans un voisinage de <math>z_{0}</math> (<math>|f|</math> admet un maximum local dans <math>\Omega</math>) alors <math>f</math> est constante dans <math>\Omega</math>.</br>
-Si l'ouvert <math>\Omega </math> est borné et <math>f</math> dans <math>\Omega</math> et continue dans <math>\bar{\Omega}</math> (<math>\bar{\Omega}</math> désignant l'adhérence de <math>\Omega</math>) alors <math>sup_{\bar{\Omega}}|f|=sup_{\partial \Omega} |f|</math>
}}
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