Wikiversité

« Systèmes de liaison arbres-moyeux » : différence entre les versions

Navigation interactive dans l’historique
← Modification précédenteModification suivante →
Contenu supprimé Contenu ajouté
VisuelWikicode
Contenu remplacé par « {{Leçon | idfaculté = sciences de l'ingénieur | département = Systèmes mécaniques | 1 = {{C|Généralités|1|11}} | 2 = {{C|Frettage d... »
Ligne 1 :
{{Leçon
== Introduction ==
| idfaculté = sciences de l'ingénieur
| département = Systèmes mécaniques
| 1 = {{C|Généralités|1|11}}
| 2 = {{C|Frettage de tubes cylindriques creux|0|11}}
| 3 = {{C|Démarche de dimensionnement|3|11}}
| 4 = {{C|Normes|3|11}}
| niveau = 11
}}
 
[[Catégorie:Cinématique]]
Les systèmes de liaisons arbres/moyeux (aussi appelées liaisons par frettage), sont des liaisons par pression qui sont utilisées dans l'industrie automobile ou ferroviaire.
 
Le frettage est l’assemblage de deux pièces grâce à un ajustement serré. L'objectif est de transmettre des charges tangentielles, radiales ou axiales d’un arbre à un moyeu.
 
== Définition ==
 
Il existe deux types de frettages:
* Frettage cylindrique: La différence de diamètre entre l'arbre et le moyeu provoque un emmanchement par pression.
* Frettage conique: L'emmanchement se fait entre une partie mâle et femelle
 
La pièce extérieure (moyeu) est appelée « frette », la pièce intérieure (arbre) est dite « frettée ».
 
== Frettage de deux tubes cylindriques creux ==
==== Hypothèses et définitions ====
 
On se place dans le cadre classique de la mécanique des milieux continus, c'est-à-dire un matériau linéaire élastique isotrope<br />
On suppose que les matériaux de l'arbre et du moyeu sont identiques.<br />
On se place dans le cadre des petits déplacements.<br />
 
L'arbre a comme rayon inférieur <math>r_0</math> et comme rayon extérieur <math>r_1</math> alors que le moyeu a comme rayon inférieur <math>r_1+\delta</math> et comme rayon extérieur <math>r_2</math> (où <math>\delta</math> est le serrage au rayon).<br />
On appelle L la longueur de frettage, f le coefficient de frottement entre l'arbre et le moyeu, E le module d'Young, <math>\nu</math> le coefficient de Poisson
 
==== Pression de frettage ====
 
On utilise la méthode des déplacements, c'est-à-dire que l'on suppose que le champ de déplacement est de la forme
 
<center><math>\overrightarrow{U(M)}=U_r(r)\overrightarrow{e_r}+U_z(z)\overrightarrow{e_z}</math></center>
 
On calcule désormais le champ de déformation <math>\bar\bar\epsilon</math>
 
<center><math>
\bar\bar\epsilon=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial U_r(r)}{\partial r} & 0 & 0 \\
0 & \frac{U_r(r)}{r} & 0 \\
0 & 0 & \frac{\partial U_z(z)}{\partial z}
\end{pmatrix}</math></center>
 
On peut alors calculer le tenseur des contraintes via la loi de Lamé:
 
<center><math>\bar\bar\sigma = 2\mu\bar\bar\epsilon+\lambda tr(\bar\bar\epsilon)\bar\bar I</math></center>
 
On déduit donc:
 
<center><math>
\bar\bar\sigma=
\begin{pmatrix}
2\mu \frac{\partial U_r(r)}{\partial r} + \lambda (\frac{\partial U_r(r)}{\partial r}+\frac{U_r(r)}{r}+\frac{\partial U_z(z)}{\partial z}) & 0 & 0 \\
0 & 2\mu \frac{U_r(r)}{r} + \lambda (\frac{\partial U_r(r)}{\partial r}+\frac{U_r(r)}{r}+\frac{\partial U_z(z)}{\partial z}) & 0 \\
0 & 0 & 2\mu \frac{\partial U_z(z)}{\partial z} + \lambda (\frac{\partial U_r(r)}{\partial r}+\frac{U_r(r)}{r}+\frac{\partial U_z(z)}{\partial z})
\end{pmatrix}</math></center>
 
On doit avoir un champ de contrainte statiquement admissible, donc:
 
<center><math>\overrightarrow{div(\bar\bar\sigma)}=\overrightarrow{0}</math></center>
 
On obtient avec cette équation lorsque l'on projette sur <math>\overrightarrow{e_r}</math> et <math>\overrightarrow{e_r}</math>:
 
* <math>\frac{\partial \sigma_{rr}}{\partial r} + \frac{\sigma_{rr}-\sigma_{\theta\theta}}{r} = 0</math>
 
* <math>\frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} = 0</math>
 
En remplacant, on obtient donc les deux équations différentielles suivantes:
 
* <math>\frac{\partial^2 U_r(r)}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial U_r(r)}{\partial r}-\frac{U_r(r)}{r^2} = 0</math>
 
* <math>\frac{\partial^2 U_z(z)}{\partial z^2} = 0</math>
 
On peut montrer que le champ <math>U_r</math> est de la forme <math>\frac{A_1}{r}+B_1r</math> et que le champ <math>U_z</math> est de la forme <math>C_1z + D_1</math>
 
On obtient finalement:
 
<center><math>
\bar\bar\sigma=
\begin{pmatrix}
A-\frac{B}{r^2} & 0 & 0 \\
0 & A+\frac{B}{r^2} & 0 \\
0 & 0 & C
\end{pmatrix}</math></center>
 
Il faut maintenant utiliser les conditions aux limites afin de déterminer les constantes:
 
* <math>\sigma_{rr}(r=r_2)=0 \Rightarrow A=\frac{B}{r_2^2}</math>
 
* <math>\sigma_{rr}(r=r_1)=-p_{frettage} \Rightarrow A-\frac{B}{r_1^2}=p_{frettage}</math>
 
<center><math>\forall r\in[r_1,r_2], \sigma_{rr}^{moyeu} = p_{frettage}\frac{r_1^2}{r_2^2-r_1^2}(1-\frac{r_2^2}{r^2})</math></center>
<center><math>\forall r\in[r_1,r_2], \sigma_{\theta\theta}^{moyeu} = p_{frettage}\frac{r_1^2}{r_2^2-r_1^2}(1+\frac{r_2^2}{r^2})</math></center>
 
On procède de même pour l'abre intérieur au niveau des contions aux limites et on obtient:
 
* <math>\sigma_{rr}(r=r_0)=0 \Rightarrow A=\frac{B}{r_0^2}</math>
 
* <math>\sigma_{rr}(r=r_1)=-p_{frettage} \Rightarrow A-\frac{B}{r_1^2}=p_{frettage}</math>
 
<center><math>\forall r\in[r_0,r_1], \sigma_{rr}^{arbre} = -p_{frettage}\frac{r_1^2}{r_1^2-r_0^2}(1-\frac{r_0^2}{r^2})</math></center>
<center><math>\forall r\in[r_0,r_1], \sigma_{\theta\theta}^{arbre} = -p_{frettage}\frac{r_1^2}{r_1^2-r_0^2}(1+\frac{r_0^2}{r^2})</math></center>
 
 
On obtient le champ de déplacement suivant à l'aide de la loi de Hooke:
 
<center><math>\forall r\in[r_0,r_1], U_r(r) = r \frac{\sigma_{rr}^{arbre}-\nu\sigma_{\theta\theta}^{arbre}}{E}</math></center>
<center><math>\forall r\in[r_0,r_1], U_r(r) = r \frac{\sigma_{rr}^{moyeu}-\nu\sigma_{\theta\theta}^{moyeu}}{E}</math></center>
 
On déduit:
 
<center><math>\forall r\in[r_0,r_1], U_r(r) = \frac{r p r_1^2}{E (r_1^2-r_0^2)}((1+\nu)+(1-\nu)\frac{r_0^2}{r^2})</math></center>
<center><math>\forall r\in[r_0,r_1], U_r(r) = \frac{r p r_1^2}{E (r_2^2-r_1^2)}((1+\nu)+(1-\nu)\frac{r_2^2}{r^2})</math></center>
 
Or, on a:
 
<center><math>U_r(r=r_1^+)+U_r(r=r_1^-)=\delta</math></center>
 
On déduit après quelques calculs:
 
<center><math>p_{frettage}=\frac{\delta E}{2r_1^3}\frac{(r_2^2-r_1^2)(r_1^2-r_0^2)}{r_2^2-r_0^2} </math></center>
 
==== Effort axial ====
 
L’effort axial maximal transmissible qui peut être appliqué entre l'arbre et le moyeu est la résultante, sur la surface de contact des deux pièces, des forces tangentielles provenant de la pression de frettage et du coefficient de frottement entre arbre et moyeu est:
 
<center><math>F_a=2\pi r_1 L f p_{frettage}</math></center>
 
En effet, en appliquant le principe fondamentel de la dynamique sur l'arbre et en le projettant sur l'axe de l'arbre, on obtient:
 
<center><math>F_a+T=0</math></center>
 
donc
 
<center><math>F_a=-T=fN=f 2\pi r_1 L p_{frettage}</math></center>
 
Cette effort représente aussi l'effort qui faut appliquer pour fretter les deux pièces.
 
==== Couple transmissible ====
De même, en appliquant le théorème du moment dynamique autour de l'axe de l'arbre, on obtient:
 
<center><math>C_a=2\pi r_1^2 L f p_{frettage}</math></center>
 
==== Critère de Von Misès ====
 
On regarde le critère de Von Misès à l'interface arbre/moyeu
 
==== Remarques ====
 
Lorsque l'on a <math>r_0=0</math>, on obtient le cas où l'arbre est plein. Il s'agit d'un cas particulier de la loi vu plus haut dans le chapitre.
 
==== Vitesse de rotation critique ====
 
Les assemblages frettés ne sont valides qu'en dessous d'une certaine vitesse appelée vitesse critique à partir de laquelle il n'y a plus de serrage à l'interface arbre/moyeu (arbre et moyeu ne sont alors plus solidaires).
 
Lorsque l'assemblage fretté est en rotation, il est soumis à une force volumique radiale F de valeur <math> F = \rho \omega^2 r</math>. Cette force est alors prise en compte dans le principe fondamental de la dynamique utilisée plus haut dans la méthode des déplacements.
 
On obtient ainsi la valeur de cette vitesse de rotation limite/critique.
 
== Démarche de dimensionnement ==
 
==== Couple de calcul ====
 
A partir du CCFT, on extrait le couple max à transmettre <math>C_{max}</math> et un coefficient de sécurité k compris entre 1 et 2 (soit extrait du CCFT soit choisis).
 
On définit alors le couple de calcul <math>C_{calcul}=k C_{max}</math> qui nous sert de référence pour toute la suite des calculs.'
 
==== Caractéristiques arbre et moyeu ====
 
On extrait du CCFT
* la longueur de frettage L
* le coefficient de frottement arbre/moyeu f
* les caractéristiques des tubes<math>r_0, r_1, \nu, R_e</math>, E.
 
==== Calcul de la pression de frettage minimale ====
 
On calcul la pression de frettage minimale à l'aide de l'expression du couple maximal transmissible vue plus haut.
 
==== Calcul du serrage minimal ====
 
On détermine le serrage mini <math>\delta_{mini}</math> à l'aide de la formule établie plus haut dans le cours.
 
==== Calcul du serrage maximal ====
 
On choisit un interval de tolérance : <math>IT_{arbre}</math> et <math>IT_{moyeu}</math>.
 
==== Calcul de la pression de frettage maximale ====
 
On reproduit la procédure pour passer de l'étape 3 à 4 à l'envers à l'aide de la formule vue plus haut.
 
==== Calcul des contraintes ====
 
On calcule la contrainte équivalente de Von Misès <math>\sigma_e</math>.
 
==== Conclusion ====
 
Si <math>\sigma_e < m R_e</math> (où m coefficient de sécurité, on prend généralement <math>m \approx 0.8</math>) alors l'assemblage par frettage est validé.
 
Si <math>\sigma_e > m R_e</math> (où m coefficient de sécurité, on prend généralement <math>m \approx 0.8</math>) alors l'assemblage par frettage n'est pas validé, et il faut soit revoir le couple à transmettre soit les caractéristiques arbre/moyeu pour la liaison frettée.
 
== Normes ==
 
Il existe un certain nombre de normes de dimensionnement des liaisons frettées qui doivent être respectées pour un produit, les principales normes concernant les liaisons frettés sont:
* NF E 22 - 620 - Assemblages frettés.
''Dimensions, tolérances et états de surface pour assemblages usuels.''
 
* NF E 22 - 621 - Assemblages frettés sur portée cylindrique.
''Fonction, réalisation, calcul.''
 
* NF E 22 - 622 - Assemblages frettés sur portée conique.
''Fonction, réalisation, calcul.''
 
* NF E 22 - 623 - Assemblages frettés.
''Montage et démontage par pression d'huile.''
 
* NF E 22 - 624 - Assemblages frettés.
''Influence de la vitesse.''
 
* NF E 22 - 625 - Assemblages frettés sur portée cylindrique avec douille intermédiaire à surface extérieure conique.
''Calcul.''
Récupérée de « https://fr.wikiversity.org/wiki/Systèmes_de_liaison_arbres-moyeux »