« Fonction exponentielle/Étude de la fonction exponentielle » : différence entre les versions
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Ligne 18 :
| idfaculté = mathématiques|cours=Fonction logarithme}}
* Soit la fonction <math>u:x\mapsto e^x</math>, définie sur <math>\R</math>.
* On sait que pour tout <math>x\in\R,~\ln(e^x)=\ln(u(x))=x</math>.
* En dérivant chaque membre, pour tout <math>x\in\R,~\frac{u'(x)}{u(x)}=1</math>.
* Donc pour tout <math>x\in\R,~u'(x)=u(x)=e^x</math>}}
== Variations de la fonction exponentielle ==
Ligne 31 :
{{Démonstration déroulante|contenu=
* Pour tout <math>x\in\R,e^x=\left(e^{\frac x2}\right)^2</math>, donc pour tout <math>x\in\R,~e^x\geq0</math>
* De plus, s'il existe <math>x_0\in\R</math> tel que <math>e^{x_0}=0</math>,
alors pour tout <math>x\in\R,~e^x=e^{(x-x_0)+x_0}=e^{x_0}\times e^{x-x_0}=0</math>, ce qui est faux car <math>\exp(0)=1\,</math>
* Donc pour tout <math>x\in\R,~\exp(x)>0</math>
}}
Ligne 43 :
{{Démonstration déroulante|contenu=
* On sait que si pour tout <math>x\in\R,~f(x)=e^x</math>, alors ''f'' est dérivable et pour tout <math>x\in\R,~f'(x)=e^x</math>.
* Donc pour tout <math>x\in\R,~f'(x)>0</math> car l’exponentielle d’un nombre réel est strictement positive.
* Donc la fonction exponentielle est strictement croissante sur <math>\R</math>.
}}
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