« Fonction logarithme/Croissances comparées » : différence entre les versions

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Ligne 43 :
Déterminer les limites suivantes :
 
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{\ln(x)}</math>
 
{{Solution|contenu=Comme <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}x=0^+</math>, on a <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{\ln(x)}=+\infty</math>}}
 
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^2}</math>
 
{{Solution|contenu=
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}x=0</math>
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac1x=0</math>
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^2}=0\times0=0</math>}}
 
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt x}</math>
 
{{Solution|contenu=
Ligne 67 :
Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt x}=\lim_{X\to+\infty}\frac{2\ln(X)}X=0^+</math>}}
 
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\ln(x^2)}</math>
 
{{Solution|contenu=Soit <math>x\in\R</math>
Ligne 77 :
Comme <math>\lim_{X\to+\infty}\frac{\ln(X)}{\sqrt X}=0^+</math>, on a <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\ln(x^2)}=\lim_{X\to+\infty}\frac{\sqrt X}{\ln(X)}=+\infty</math>}}
 
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+3x+1}{\ln(x)}</math>
 
{{Solution|contenu=
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{\ln(x)}=+\infty</math> donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac {x^2}{\ln(x)}=+\infty</math>
* <math>\lim_{x\to+\infty}{\ln(x)}=+\infty</math> donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac 1{\ln(x)}=0</math>
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{\ln(x)}+3\frac x{\ln(x)}+\frac1{\ln(x)}=+\infty</math>}}
 
* <math>\lim_{x\to+\infty}(\ln(x)-x)</math>
 
{{Solution|contenu=Pour tout <math>x\in\R,~\ln(x)-x=\ln(x)\left(1-\frac x{\ln(x)}\right)</math>
* <math>\lim_{x\to+\infty}-\frac x{\ln(x)}=-\infty</math> donc <math>\lim_{x\to+\infty}1-\frac x{\ln(x)}=-\infty</math>
* <math>\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty</math>
 
Donc <math>\lim_{x\to+\infty}(\ln(x)-x)=-\infty</math>}}
Ligne 116 :
Déterminer les limites suivantes.
 
* <math>\lim_{x\to0}x^2\ln(x)</math>
 
{{Solution|contenu=
* <math>\lim_{x\to0^+}x\ln(x)=0</math>
* <math>\lim_{x\to0^+}x=0</math>
* Donc <math>\lim_{x\to0^+}x^2\ln(x)=0</math>
}}
 
* <math>\lim_{x\to0}\sqrt x\ln(x)</math>
 
{{Solution|contenu=Soit <math>x\in\R</math>:
Ligne 135 :
Donc <math>\lim_{x\to0}\sqrt x\ln(x)=\lim_{X\to0}2X\ln(X)=0</math>}}
 
* <math>\lim_{x\to0}\left(\ln(x)+\frac1x\right)</math>
 
{{Solution|contenu=Pour tout <math>x\in\R,~\ln(x)+\frac1x=\frac1x\left(x\ln(x)+1\right)</math>
* <math>\lim_{x\to0^+}x\ln(x)=0</math>
* Donc <math>\lim_{x\to0^+}1+x\ln(x)=1</math>
* <math>\lim_{x\to0^+}\frac1x=+\infty</math>
* Donc <math>\lim_{x\to0}\left(\ln(x)+\frac1x\right)=+\infty</math>}}
 
{{Bas de page