« Fonction logarithme/Exercices/Utilisation des propriétés du logarithme » : différence entre les versions
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Ligne 12 :
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Si a et b sont strictement positifs, et si n est un entier positif,
* <math>\ln(a^n)=n~\ln(a)</math>
* <math>\ln \left (\frac 1{a^n} \right )=-n~\ln(a)</math>
* <math>\ln \left(\frac ab \right ) =\ln(a)-\ln(b)</math>
sont des conséquences de la propriété algébrique fondamentale.
Ligne 69 :
| contenu =
'''1.''' '''a.''' *'''20<22'''
* <math>~\ln~</math> est '''croissante'''
{{cadre simple|contenu=<math>\ln(20)<~\ln(22)</math>}}
'''b.''' *<math>1=~\ln(e)</math>
* '''3>e'''
* <math>~\ln~</math> est '''croissante'''
{{cadre simple|contenu=<math>\ln(3)>~1</math>}}
Ligne 103 :
'''2.''' '''a.''' Soit <math>x\in \R</math>
* <math>0=~\ln(1)</math>. On va donc chercher à '''comparer <math>x^2+x+2\,</math> à <math>1\,</math>'''
* '''Étude du signe de <math>(x^2+x+2)-(1)\,</math>''' :
** On s'intéresse à l'équation <math>x^2+x+1=0\,</math> d'inconnue ''x''.
** Cette équation du second degré a pour discriminant <math>\Delta=1-4 \times 1 \times 1= -3</math>, donc n'admet pas de racine réelle et reste du signe du coefficient de plus haut degré.
** Finalement <math>(x^2+x+2)-1>0\,</math>, c'est-à-dire <math>(x^2+x+2)>1\,</math>
* <math>\ln\,</math> est une fonction croissante
{{cadre simple|contenu=Finalement, pour tout <math>x \in \R, \ln(x^2+x+2)>0</math>}}
Ligne 116 :
'''b.''' Soit <math>x \in \R^{+*}</math>
* <math>(x-1)^2 \geq 0</math>
* Donc <math>x^2-2x+1 \geq 0</math>
* Donc <math>x^2+1 \geq 2x</math>
* <math>\ln\,</math> est croissante
{{cadre simple|contenu=Donc pour tout <math>x \in \R^{+*},~\ln(x^2+1) \geq \ln(2x)</math>}}}}
Ligne 130 :
| contenu =
Il s'agit de vérifier que pour tout <math>x\in \R,~x^2-4x+5>0</math> :
* On cherche les solutions de l'équation <math>x^2-4x+5=~0</math> d'inconnue ''x''. Cette équation est du second degré, de discriminant <math>\Delta=4^2-4\times1\times 5=-4~<0</math>, donc n'admet aucune solution réelle.
* Le signe de <math>x^2-4x+5\,</math> est alors toujours le même que celui du terme de plus haut degré, c'est-à-dire positif.
{{cadre simple|contenu=L’expression <math>\ln(x^2-4x+5)\,</math> est donc bien définie pour tout <math>x\in \R</math>}}}}
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