« Fonction logarithme/Utilisation du logarithme pour la recherche de primitives » : différence entre les versions
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Ligne 14 :
Soit ''u'' une fonction dérivable à valeurs strictement positives sur un intervalle I.
Alors :
* La fonction <math>f:x\mapsto\ln(u(x))</math> est dérivable sur ''I''
* Pour tout <math>x\in\R,~f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}</math>}}
Cette formule permet de déterminer certaines primitives, en mettant la fonction de départ sous la forme <math>\frac{u'}u</math>, quitte à « compenser » par une constante multiplicative.
Ligne 22 :
Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sans se préoccuper de l’intervalle ''I'' où cela est possible.
* <math>f(x)=\frac4{4x-3}</math>
** <math>u(x)=\cdots</math>
** <math>u'(x)=\cdots</math>
** Donc une primitive de ''ƒ'' est la fonction ''F'' définie par pour tout <math>x\in\R,~F(x)=\cdots</math>
{{Solution
| contenu =
<math>f(x)=\frac4{4x-3}</math>
* <math>u(x)=4x-3\,</math>
* <math>u'(x)=4\,</math>
* On s'aperçoit que pour tout <math>x\in I, f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}</math>
* Donc une primitive de ''ƒ'' est la fonction ''F'' définie par pour tout <math>x\in I,~F(x)=\ln(u(x))=\ln(4x-3)\,</math>}}
* <math>f(x)=\frac1{2x+1}</math>
** <math>u(x)=\cdots</math>
** <math>u'(x)=\cdots</math>
** Donc une primitive de ''ƒ'' est la fonction ''F'' définie par pour tout <math>x\in I,~F(x)=\cdots</math>
{{Solution
| contenu =
<math>f(x)=\frac1{2x+1}</math>
* <math>u(x)=2x+1\,</math>
* <math>u'(x)=2\,</math>
* On aimerait bien faire apparaître le terme <math>\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac2{2x+1}</math> dans l'expression de ''ƒ''.
* On manipule ''ƒ'' pour ce faire : pour tout <math>x\in I,~f(x)=\frac1{2x+1} \cdot2 \cdot\frac12=\frac12\frac{u'(x)}{u(x)}</math>
* Comme les constantes multiplicatives sont transparentes à la « primitivation », une primitive de ''ƒ'' est la fonction ''F'' définie par pour tout <math>x\in I,~F(x)=\frac12\ln(u(x))=\frac12\ln(2x+1)</math>}}
* <math>f(x)=\frac{-3}{4x-3}</math>
** <math>u(x)=\cdots</math>
** <math>u'(x)=\cdots</math>
** Donc une primitive de ''ƒ'' est la fonction ''F'' définie par pour tout <math>x\in I,~F(x)=\cdots</math>
{{Solution
| contenu =
<math>f(x)=\frac{-3}{4x-3}</math>
* <math>u(x)=4x-3\,</math>
* <math>u'(x)=4\,</math>
* On aimerait bien faire apparaître le terme <math>\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac4{4x-3}</math> dans l'expression de ''ƒ''.
* On manipule ''ƒ'' pour ce faire : pour tout <math>x\in I,~f(x)=\frac{-3}{4x-3} \cdot \frac4{-3} \cdot\frac{-3}4=\frac{-3}4\frac{u'(x)}{u(x)}</math>
* Comme les constantes multiplicatives sont transparentes à la « primitivation », une primitive de ''ƒ'' est la fonction ''F'' définie par pour tout <math>x\in I,~F(x)=\frac{-3}4\ln(u(x))=-\frac34\ln(4x-3)</math>}}
Ligne 69 :
== Si ''u'' n’est pas affine, mais que le dénominateur est proportionnel à ''u’'' ==
* <math>f(x)=\frac{2x+4}{x^2+4x-3}</math>
** <math>u(x)=\cdots</math>
** <math>u'(x)=\cdots</math>
** Donc <math>F(x)=\cdots</math>
{{Solution
| contenu =
<math>f(x)=\frac{2x+4}{x^2+4x-3}</math>
* <math>u(x)=x^2+4x-3\,</math>
* <math>u'(x)=2x+4\,</math>
* On s'aperçoit que pour tout <math>x\in I, f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}</math>
* Donc une primitive de ''ƒ'' est la fonction ''F'' définie par pour tout <math>x\in I,~F(x)=\ln(u(x))=\ln(x^2+4x-3)\,</math>}}
* <math>f(x)=\frac{x-2}{x^2-4x+1}</math>
** <math>u(x)=\cdots</math>
** <math>u'(x)=\cdots</math>
** Donc <math>F(x)=\cdots</math>
{{Solution
| contenu =
<math>f(x)=\frac{x-2}{x^2-4x+1}</math>
* <math>u(x)=x^2-4x+1\,</math>
* <math>u'(x)=2x-4=2(x-2)\,</math>
* On s'aperçoit que pour tout <math>x\in I, f(x)=\frac{u'(x)}{2u(x)}</math>
* Comme les constantes multiplicatives sont transparentes à la « primitivation », une primitive de ''ƒ'' est la fonction ''F'' définie par pour tout <math>x\in I,~F(x)=\frac12\ln(u(x))=\frac12\ln(x^2-4x+1)\,</math>}}
== Primitive prenant une valeur fixée ==
Ligne 106 :
'''Problématique :''' On désire trouver la primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que ''F(a) = b'' en fixant correctement la constante ''K''.
* <math>f:x\mapsto\frac{x^2}{x^3+1}</math>, définie sur <math>\R^+</math>
Déterminer la primitive ''F'' de ''ƒ'' sur <math>\R^+</math> telle que <math>F(2)=-3\,</math>.
* Pour tout <math>x\in\R^+,~u(x)=\cdots</math>
* Donc une primitive de ''ƒ'' est définie par pour tout <math>x\in \R^+,~F_0(x)=\cdots</math>
* La primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que ''F(2) = -3'' est définie par pour tout <math>x\in \R^+,~F(x)=F_0(x)+K=\cdots+K</math>
* <math>-3=F(2)=\cdots</math>
* Donc <math>K=\cdots</math>
Finalement, la primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que ''F(2) = -3'' est définie par pour tout <math>x\in \R^+,~F(x)=\cdots</math>
Ligne 119 :
{{Solution
| contenu =
* Pour tout <math>x\in\R^+,~u(x)=x^3+1</math>, soit <math>u'(x)=x^2\,</math>
* Donc une primitive de ''ƒ'' est définie par pour tout <math>x\in \R^+,~F_0(x)=\ln(u(x))=\ln(x^3+1)</math>
* La primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que ''F(2) = -3'' est définie par pour tout <math>x\in \R^+,~F(x)=F_0(x)+K=\ln(x^3+1)+K</math>
* <math>-3=F(2)\,=\ln(9)+K=2\ln(3)+K</math>
* Donc <math>K=-3-2\ln(3)\,</math>
Finalement, la primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que ''F(2) = -3'' est définie par pour tout <math>x\in \R^+,~F(x)=\ln(x^3+1)-3-2\ln(3)</math>}}
* <math>f:x\mapsto\frac{-x}{x^2+5}</math>, définie sur <math>\R</math>
Déterminer la primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que <math>F(-1)=3\,</math>.
* Pour tout <math>x\in\R,~u(x)=\cdots</math>
* Donc une primitive de ''ƒ'' est définie par pour tout <math>x\in\R,~F_0(x)=\cdots</math>
* La primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que ''F(-1) = 3'' est définie par pour tout <math>x\in \R,~F(x)=F_0(x)+K=\cdots+K</math>
* <math>3=F(-1)=\cdots</math>
* Donc <math>K=\cdots</math>
Finalement, la primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que ''F(-1) = 3'' est définie par pour tout <math>x\in \R,~F(x)=\cdots</math>
Ligne 140 :
{{Solution
| contenu =
* Pour tout <math>x\in\R,~u(x)=x^2+5</math>, soit <math>u'(x)=2x\,</math>
* Donc une primitive de ''ƒ'' est définie par pour tout <math>x\in\R,~F_0(x)=-\frac12\ln(x^2+5)</math>
* La primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que ''F(-1) = 3'' est définie par pour tout <math>x\in \R,~F(x)=F_0(x)+K=-\frac12\ln(x^2+5)+K</math>
* <math>3=F(-1)=-\frac12\ln(6)+K</math>
* Donc <math>K=3+\frac12\ln(6)</math>
Finalement, la primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que ''F(-1) = 3'' est définie par pour tout <math>x\in \R,~F(x)=-\frac12\ln(x^2+5)+3+\frac12\ln(6)</math>}}
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