« Fonctions affines et linéaires/Fonctions affines » : différence entre les versions
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* On dit qu'une quantité ''f(x)'' est '''''fonction affine''''' d'une autre quantité variable ''x''
quand ces quantités sont liées par une relation de la forme :
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Le coefficient ''b'' s'appelle '''''ordonnée à l'origine'''''.
* Si l'ordonnée à l'origine ''b'' est nulle (b=0), on dit que la fonction est linéaire.
* Dans ce cas, ''f'' et ''x'' sont proportionnelles. }}
'''Remarque''' : La notation ''f(x)'' se lit "f de x". Elle indique que la quantité ''f'' dépend de ''x''.
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'''Exemple''' : Un complexe cinématographique propose un abonnement de 20 Euros par an, avec lequel la séance coûte 5 Euros. Sans abonnement, la séance coûte 8 Euros.
Notons ''n'' le nombre de séances, ''A'' le coût de n séances avec abonnement, et ''S'' le coût de ''n'' séances sans abonnement.
* Exprimer ''A'' et ''S'' en fonction de ''n''.
* À quels types de fonctions correspondent ces formules ?
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'''Exemple''' : Soit la fonction affine <math>f(x)=2\times x+3</math>.
* Donner les valeurs des coefficients ''a'' et ''b''.
* Calculer les images des nombres ''x = 0'', ''x = 2'' et ''x = -3'' par ''f''.
== Représentation graphique d'une fonction affine ==
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=== Droite représentative ===
* Pour représenter graphiquement une fonction à partir d'un tableau de valeurs,
on place en abscisses (horizontalement) les valeurs de ''x''
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* La représentation graphique d'une fonction affine <math>f(x)=a\times x+b</math>
est toujours une droite d'équation <math>y=a\times x+b</math>
* Si la fonction est linéaire (b = 0), la droite passe par l'origine (situation de proportionnalité).
On comprend alors pourquoi on appelle le coefficient ''b'' : ''ordonnée à l'origine''.
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== Calcul des coefficients a et b à partir de deux valeurs de la fonction ==
* Deux valeurs suffisent à déterminer complètement une fonction affine, car "par deux points, il passe une unique droite".
=== Formule pour le coefficient directeur ===
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'''Exemple''' :
* Pour la fonction affine <math>f(x)=2\times x+3</math>, nous avons dans le tableau de valeurs
''f(2) = 7'' et ''f(3) = 9''. Retrouvons ''a'' grâce à la formule, en prenant <math>x_2 = 3</math> et <math>x_1 = 2</math>.
<center><math>a=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{f(3)-f(2)}{3-2}=\frac{9-7}{3-2}=\frac{2}{1}=2</math></center>
* Pour retrouver ''b'', il suffit d'utiliser une valeur et résoudre une équation :
<center><math>f(2)=7=2\times 2+b=7</math></center>
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<center><math>7-4=b=3\,</math></center>
* On pourrait également trouver a et b en résolvant le système d'équations :
<math>\begin{cases} a\times 2 + b = 7, & \text{valeur pour x = 2} \\ a\times3 +b = 9, & \text{valeur pour x = 3} \end{cases}
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