« Géométrie symplectique/Géométrie symplectique linéaire » : différence entre les versions

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** Si ''a'' est la forme nulle, alors le noyau de ''a'' est ''E'' ; et toute base de ''E'' convient. Sinon, fixons un vecteur ''X''₁ de ''E'' qui ne soit pas dans le noyau de ''a''. Choississons un vecteur ''Y''₁ tel que ''a''(''X''₁,''Y''₁) soit non nul. Quitte à modifier ''Y''₁ en ''Y''₁/''a''(''X''₁,''Y''₁), on est en droit de supposer ''a''(''X''₁,''Y''₁)=1. Les vecteurs ''X''₁ et ''Y''₁ sont non colinéaires et engendrent donc un plan vectoriel ''P''.
 
** L'ensemble des vecteurs ''v'' vérifiant <math>a(X_1,v)=a(Y_1,v)=0</math> est un sous-espace vectoriel Q de ''E''. Tout vecteur ''w'' peut s'écrire :
::<math>w=w_P+w_Q</math> où <math>\scriptstyle w_p=a(X_1,w)Y_1+a(w,Y_1)X_1\in P</math> et <math>w_Q\in Q</math>.
 
** En particulier, ''P'' et ''Q'' sont supplémentaires. Le noyau de ''a'' est évidemment contenu dans ''Q''. Appliquons l'hypothèse de récurrence à la restriction ''b'' de ''a'' à ''Q''. Il existe une base <math>\scriptstyle Z_1,\dots,Z_r</math> du noyau de ''b'', étendue en une base <math>\scriptstyle X_2, \dots,X_n,Y_2,\dots,Y_n, Z_1,\dots Z_r</math> vérifiant les identités <math>a(X_i,X_j)=0</math>, <math> a(X_i,Y_j=\delta_{ij}</math> et <math>a(Y_i,Y_j)=0</math>.
** La famille <math>\scriptstyle (X_1,\dots,X_k,Y_1,\dots, Y_k,Z_1,\dots Z_r)</math> vérifie les propriétés requises. (Le noyau de ''a'' est égal au noyau de ''b''.)
 
Par récurrence forte, on démontre le résultat annoncé.
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