« Intégration de Riemann/Intégrale de Riemann » : différence entre les versions
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Soit <math>\varepsilon>0\,</math> et soit <math>(a_1;a_2;\ldots;a_n)\,</math> une subdivision de <math>[a;b]\,</math> telle que <math>\forall i \in [1;n]\cap \mathbb N, \; a_{i+1}-a_i = \frac{b-a}{n} < \delta_{\varepsilon}\,</math> .<br />
On construit alors les fonctions <math>\psi,\varphi \in \mathcal E([a;b])\,</math> définies par :<br />
* <math>\psi(x) = m_i = \min_{x\in [a_i;a_{i+1}]}f(x)\,</math> ;<br />
* <math>\varphi(x) = M_i = \max_{x\in [a_i;a_{i+1}]}f(x)\,</math> .<br />
La continuité uniforme et la définition du minimum et du maximum (qui existent bien, puisque <math>f\,</math> est continue sur l'intervalle fermé borné <math>[a;b]\,</math>) permettent alors de conclure.
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On note :
* <math>\mathcal E^- =\{\psi \in \mathcal E([a;b])\;|\;\psi \le f\}\,</math> et <math>\mathcal I^- = \left\{\int_a^b \psi(x)\mathrm{d}x \;| \;\psi \in \mathcal E^-\right\}\,</math>
* <math>\mathcal E^+ =\{\varphi \in \mathcal E([a;b])\;|\;\varphi \ge f\}\,</math> et <math>\mathcal I^+ = \left\{\int_a^b \varphi(x)\mathrm{d}x \;|\; \varphi \in \mathcal E^+\right\}\,</math>.<br />
La fonction <math>f\,</math> est dite '''intégrable au sens de Riemann''' si, et seulement si :<br />
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