« Intégration de Riemann/Intégrale et primitives » : différence entre les versions

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{{Démonstration déroulante|contenu =
* Il est clair que si <math>F'=f\,</math> , alors <math>G' = F' = f\,</math> (la dérivée d'une fonction constante est nulle) donc que <math>G\,</math> est une autre primitive de <math>f\,</math> .
* '''Existence :'''<br />
Soit <math>G\,</math> une primitive quelconque de <math>f\,</math> .(On montrera plus loin que toute fonction continue admet au moins une primitive).<br />
Alors en posant <math>F : x\mapsto G(x)-G(x_0)+y_0\,</math> , on peut vérifier facilement qu'on obtient une primitive de <math>f\,</math> telle que <math>F(x_0) = y_0\,</math>.<br />
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{{Démonstration déroulante|contenu =
* Il est clair que <math>F\,</math> s'annule en <math>a\,</math> : <math>F(a) = \int_a^a f(t)\mathrm{d}t = 0\,</math> .<br />
Il faut montrer maintenant que <math>F\,</math> est bien une primitive de <math>f\,</math> , c'est-à-dire que <math>F'=f\,</math> ou encore (par [[Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité|définition de la dérivée]]) que <math>\lim_{x\to x_0} \frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} = f(x_0) \,\forall x_0 \in \R\,</math> .<br />
On a :<br />
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Pour utiliser cette formule en pratique :<br />
* poser <math>x = \varphi(t)\,</math> et donc <math>\mathrm{d}x = \varphi'(t)\mathrm{d}t\,</math> ;
* '''changer les bornes d'intégration''' : si <math>x=\alpha=\varphi(t)\,</math> , alors <math>t = a\,</math> et si <math>x=\beta=\varphi(t)\,</math> , alors <math>t=b\,</math> .<br />
Remarquez que cette formule s'utilise dans les deux sens, comme le montrent les exemples.<br />
'''Exemples :'''<br />