« Limites d'une fonction/Opérations sur les limites » : différence entre les versions
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{{principe|titre=Méthode pour la limite d'une composée|contenu=
Pour trouver la limite d'une composée, il faut procéder en plusieurs temps pour procéder proprement.
* Tout d'abord, on '''isole les différentes fonctions en jeu''' dans la composition. Ici, il s'agit des fonctions <math>x\mapsto 2+\frac1x</math> et de la fonction racine carrée :
* On donne un nom au terme '''le plus « à l'intérieur »''' de la composition. Ici, il s'agit de <math>2+\frac1x</math>. Appelons-le X.
::<math>
\begin{array}{ccccc}
Ligne 95 :
\end{array}
</math>
* On commence par étudier la '''limite du terme le plus à l'intérieur'''.
::<math>\lim_{x\to +\infty} \color{blue}2+\frac1x \color{black}= \color{red}2</math>
* Lorsqu'on fait tendre x vers <math>+\infty</math>, la grandeur <math>2+\frac1x</math> tend vers 2, c'est-à-dire que '''X tend vers 2.'''
* On procède ensuite à la deuxième étape : on '''applique à X la deuxième fonction''', ici la racine carrée. On cherche alors à savoir vers quoi tend <math>\sqrt X</math> lorsque X tend vers 2.
::<math>\lim_{\color{blue}X\color{black}\to \color{red}2} X = \sqrt 2</math>
* La '''combinaison de ces deux étapes''' donne bien le résultat global :
** Le fait de prendre la limite quand X tend vers 2 ou quand x tend vers <math>+\infty</math> revient au même (cf première étape)
** Il suffit de remplacer X par son expression en x pour revenir à l'écriture de départ
::<math>\lim_{x\to +\infty} \sqrt{2+\frac1x} = \sqrt 2</math>
}}
Ligne 113 :
On recherche la limite de la fonction <math>x\mapsto\sqrt{2+\frac1x}</math> en 0<sup>+</sup>.
* <math>\lim_{x\to 0^+} \color{blue}2+\frac1x \color{black}= \color{red}+\infty</math>
* On pose <math>X=2+\frac1x</math>
* <math>\lim_{\color{blue}X\color{black}\to \color{red}+\infty} \sqrt X = +\infty</math>
{{Résultat|Donc <math>\lim_{x\to0^+} \sqrt{2+\frac1x}=+\infty</math>}}}}
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