« Axiomes de Peano » : différence entre les versions

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Leur ensemble est l'ensemble <math>\mathbb{N}</math> et est défini par les axiomes de Peano:
 
# L'ensemble possède un plus petit élément que l'on note 0 et est infini.
# Chaque élément n possède un successeur que l'on notera S(n) ou n+ et 0 n'est le successeur d'aucun élément.
# Si deux éléments ont le même successeur, ils sont égaux.
# Tout sous-ensemble de <math>\mathbb{N}</math> contenant 0 et tous les successeurs de ses propres éléments est confondu avec <math>\mathbb{N}</math>. (Axiome de récurrence)
 
== Quelques conséquences ==
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Ces axiomes permettent de ''démontrer'', et non plus d'''admettre'', toutes les propriétés des deux opérations de base.
Ainsi il est très facile, voire amusant, de démontrer par des récurrences les propriétés suivantes :
* pour l''''addition''':
** La commutativité
** L'associativité.
* pour la '''multiplication''':
** La commutativité
** L'associativité
** La distributivité
** La neutralité de 1
 
[[Catégorie:Nombre entier naturel]]