« Équation différentielle/Équation différentielle linéaire du premier ordre » : différence entre les versions
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Ligne 47 :
''Préciser les valeurs de <math>\quad a(x)</math>, <math>\quad b(x)</math> et <math>\quad c(x)</math> dans l'équation suivante et donner l'équation homogène associée.''
* <math>xf'(x)-3f(x)=\sin x\,</math>{{clr}}
{{Solution
Ligne 62 :
''sachant que la variable est <math>\quad t</math> et que la fonction inconnue est notée <math>\quad y</math>.''
* <math>t^2y'(t)-3y(t)=\sin(t)\,</math>
{{Solution
Ligne 79 :
* Les solutions d'une équation différentielle linéaire homogène forment un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des fonctions. Dans le cas d'une équation d'ordre 1, ce sous-espace est de dimension 1.
* Les solutions d'une équation différentielle linéaire forment un sous-espace affine de l'espace affine des fonctions. Dans le cas d'une équation d'ordre 1, cet espace est de dimension 1.
Ligne 93 :
== La condition initiale ==
* L'ensemble des solutions d'une E.D.L. du premier ordre étant un espace vectoriel de dimension 1,<br />
:le fait de fixer une seule valeur de la fonction solution suffit à la définir parfaitement.
* Le sens physique de cette remarque est très intuitif : <br />
:un système physique régi par une équation différentielle du premier ordre voit son état déterminé par un seul nombre <math>\quad f(x)</math> qui dépend de la variable <math>\quad x</math> (en général le temps),<br />
:la connaissance de cet état à un instant donné (disons l'instant <math>\quad t=0</math> par exemple) détermine l'état du système à tout instant.
Ligne 116 :
* Soient <math>\quad a</math>, <math>\quad b</math> et <math>\quad c</math> trois nombres complexes, <math>\quad a</math> étant non-nul. Soit <math>\quad f</math> une fonction de <math>\scriptstyle \mathbb R</math> dans <math>\scriptstyle \mathbb C</math> dérivable. Une '''équation différentielle ordinaire linéaire d'ordre un à coefficients constants''' est alors une relation de la forme :
:<math>\forall x \in \mathbb R, \quad af'\left(x\right) + bf\left(x\right) = c</math>
* L’'''équation différentielle ordinaire linéaire homogène d'ordre un à coefficients constants''' associée à cette dernière est :
:<math>\forall x \in \mathbb R, \quad af'\left(x\right) + bf\left(x\right) = 0</math>
Ligne 128 :
{{Théorème
| contenu=
* L'ensemble des solutions de l'équation homogène est : <math>S = \left\{ Ae^{-\frac{b}{a}x} \, | \,A \in \mathbb C \right\}</math>.}}
==== Solutions de l'équation complète ====
Ligne 134 :
{{Théorème
| contenu=
* L'ensemble des solutions de l'équation complète est : <math>S = \left \{ Ae^{-\frac{b}{a}x} + \frac{c}{b} \, | \,A \in \mathbb C \right \}</math>.
}}
Ligne 146 :
''Résoudre les équations suivantes.''
* <math>y' = y \,</math>
* <math>y' = -2y \,</math>
* <math>y' -2y =3\,</math>
* <math>5y' -2y =3\,</math>{{clr}}
==== Exemples avec condition initiale ====
Ligne 158 :
''Résoudre les équations suivantes.''
* <math>y' = y \,</math> ; <math>y(0)=1\,</math>
* <math>y' = -2y \,</math> ; <math>y(1)=3\,</math>
* <math>y' -2y =3\,</math> ; <math>y(0)=3\,</math>
* <math>5y' -2y =3\,</math> ; <math>y(-2)=3\,</math>
==== Exemple en physique : Vitesse terminale ====
Ligne 171 :
Les forces en présence sont, en projection sur l'axe vertical orienté vers le bas :
* Le poids : <math>P = ...\,</math>
* Le frottement fluide F de l'air, d'intensité proportionnelle à la vitesse ''v'',
Le coefficient de frottement est noté ''h'', donc
Ligne 187 :
{{Solution
| contenu =
* Le poids : <math>P = m\times g\,</math>
* Le frottement fluide F de l'air, d'intensité proportionnelle à la vitesse ''v'', le coefficient de frottement est noté ''h'', donc
:<math>F = -h\times v\,</math>
Ligne 242 :
'''Application numérique''' : Tracer ''v'' en fonction de ''t'' pour :
* <math>m=0,00416\,</math>
* <math>h=3,4\times 10^{-6}\,</math>
* <math>g=9,81\,</math>
=== Remarques ===
Ligne 320 :
''Résoudre les équations suivantes.''
* <math>xy' -4y=0\,</math> sur <math>]0;+\infty[</math>
* <math>x^2y'+y=0 \,</math> sur <math>]0;+\infty[</math>
* <math>xy' -2y =3x^2\,</math> sur <math>]0;+\infty[</math>
* <math>5x^2y' -2y =3x\,</math> sur <math>]0;+\infty[</math>{{clr}}
==== Exemple en physique ====
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