« Équations et fonctions du second degré/Fonctions trinôme et complexes » : différence entre les versions

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Soit la fonction polynomiale du second degré ƒ définie par pour tout <math>x\in\R,~f(x)=ax^2+bx+c</math>, avec
* ''a'', ''b'' et ''c'' trois coefficients réels
* '''''a'' non nul'''.
 
Lors de la [[Équations et fonctions de second degré/Équations du second degré#Discriminant et racines|mise sous forme canonique]] de ƒ, on a vu que <math>(E)~:~f(x)=0\Leftrightarrow\left(x+\frac b{2a}\right)^2=\frac{\Delta}{4a^2}</math>
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| contenu=Le nombre de racines d'un trinôme dépend de son discriminant : <math>\Delta=b^2-4ac^\,</math>
 
* Si <math>\Delta>0\,</math> alors le trinôme a deux racines réelles :
:<math>x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}</math> et <math>x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}</math>
* Si <math>\Delta=0\,</math> alors le trinôme a une racine réelle :
:<math>x_0=-\frac b{2a}</math>
* Si <math>\Delta<0\,</math> alors le trinôme a deux racines complexes :
:<math>x_1=\frac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}</math> et <math>x_2=\frac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a}</math> où <math>i^2=-1\,</math>}}
 
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Soit la fonction polynomiale du second degré ƒ définie par pour tout <math>z\in\mathbb C,~f(x)=az^2+bz+c</math>, avec
* ''a'', ''b'' et ''c'' trois coefficients complexes
* '''''a'' non nul'''.
 
Le discriminant de ƒ est défini par <math>\Delta=b^2-4ac^\,</math>.
 
Si <math>\Delta\not=0\,</math>, Δ admet deux racines carrées complexes distinctes <math>\delta\,</math> et <math>-\delta\,</math>.
* [[Fichier:Nuvola apps edu mathematics.svg|20px]] Voir le cours sur les [[Nombre complexe/Racines n-ièmes d'un nombre complexe#Racines carrées d'un nombre complexe|complexes]] pour le rappel de la méthode de calcul des racines carrées d'un complexe.
 
 
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| contenu=Le nombre de racines d'un trinôme dépend de son discriminant : <math>\Delta=b^2-4ac^\,</math>
 
* Si <math>\Delta\not=0\,</math> alors le trinôme a deux racines :
:<math>z_1=\frac{-b+\delta}{2a}</math> et <math>z_2=\frac{-b-\delta}{2a}</math>
* Si <math>\Delta=0\,</math> alors le trinôme a une racine :
:<math>z_0=-\frac b{2a}</math>}}
 
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| contenu =
Factoriser la fonction trinôme définie sur <math>\mathbb C</math> par <math>f:z\mapsto z^2-4z+4+2i</math>.
* Son discriminant vaut :
:<math>\begin{align}\Delta&=b^2-4ac\\
&=(-4)^2-4\times1\times(4+2i)\\
&=-8i\end{align}</math>
* <math>\Delta\not=0</math> donc Δ admet deux racines carrées distinctes : <math>\delta=2(1-i)\,</math> et <math>-\delta=-2(1-i)\,</math>
* Les racines de ''f'' sont alors :
:<math>\begin{align}
z_1&=\frac{-b+\delta}{2a}\\