« Approfondissement sur les suites numériques/Convergence » : différence entre les versions

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Ligne 49 :
d'après la définition de la limite on peut affirmer que:
 
:<math>\forall\epsilon>0 \ \exists N \in \mathbb N\,/\,\forall n>N \Rightarrow |u_n-\ell|< \epsilon\,</math>
 
et
 
:<math>\forall\epsilon>0 \ \exists N' \in \mathbb N\,/\,\forall n>N' \Rightarrow |u_n-\ell'|< \epsilon </math>
 
donc <math>n>\max(N,N')</math> on a
:<math>|u_n-\ell|< \epsilon : (1)\,</math>
:<math>|u_n-\ell'|< \epsilon : (2)\,</math>
 
en additionnant <math>(1)\,</math> et <math>(2)\,</math> on a
:<math>|u_n-\ell'|+|u_n-\ell|< 2\epsilon : (3)\,</math>
 
d'après l'inégalité triangulaire
:<math>|\ell-\ell'|=|\ell-u_n - \ell'+ u_n| < |\ell - u_n|+|-\ell' + u_n| = |u_n - \ell'|+|u_n - \ell| : (4)\,</math>
 
en intégrant <math>(4)\,</math> à <math>(3)\,</math> on obtient<br />
:<math>|\ell-\ell'|<2\epsilon : (5)\,</math>
 
puisque cette inégalité est vraie pour tout <math>\epsilon>0\,</math> et que l'on a posé au départ <math>\ell \ne \ell'\,</math> on peut poser <math>\epsilon = 1/4|\ell-\ell'|\,</math> en l'intégrant à <math>(5)\,</math> on obtient
:<math>|\ell-\ell'|<2 \times \frac{1}{4} |\ell-\ell'|\,</math>
:donc <math>1<\frac{1}{2}\,</math>
 
Ligne 91 :
 
<math>\exists n_0 \in \mathbb N \,/\, n \ge n_0 \Rightarrow \left|u_n-\ell \right|<1\,</math>
::::::<math>\Rightarrow \left|u_n\right| \le 1+\left|\ell\right|\,</math>
 
On a donc bien prouvé que <math>(u_n)\,</math> était bornée mais cela qu'à partir du rang <math>n_0\,</math>.<br />