« Géométrie symplectique/Géométrie symplectique linéaire » : différence entre les versions

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Toute forme bilinéaire ''a'' sur ''V'' s'écrit uniquement comme somme d'une forme bilinéaire symétrique et d'une forme bilinéaire antisymétrique :
:<math>a=a_{sym}+a_{antisym}</math>
où <math>2a_{sym}(v,w)=a(v,w)+a(w,v)</math> et <math>2a_{antisym}(v,w)=a(v,w)-a(w,v)</math>.
 
 
Une forme bilinéaire ''a'' sur ''V'' induit une application linéaire <math>V\rightarrow V^*</math> définie comme suit :
:<math>v\mapsto \iota(v)\omega:w\mapsto a(v,w)</math>.
Le '''noyau''' de la forme ''a'' désigne le noyau de cette application linéaire.
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Si <math>(V_1,\omega_1)</math> et <math>(V_2,\omega_2)</math> sont deux espaces vectoriels symplectiques, une application linéaire <math>T:V_1\rightarrow V_2</math> est dite '''symplectique''' lorsque, pour tous ''v'' et ''w'' dans ''V''₁, on a :
 
:<math>\omega_2(Tv,Tw)=\omega_1(v,w)</math>.
 
Certains auteurs parlent de '''transformation canonique'''. Si ''v'' est un vecteur du noyau de ''T'', ''v'' appartient a fortiori au noyau de <math>\omega_1</math>. Comme <math>\omega_1</math> est non dégénérée, ''v'' est nul. Il s'en suit que toute transformation canonique est nécessairement injective.
Les coordonnées d'un vecteur de l'espace <math>V=\R^{2n}=\R^n\times \R^n</math> sont notées <math>(q,p)=(q_1,\dots,q_n,p_1,\dots,p_n)</math>. L'espace ''V'' est muni de la forme symplectique :
 
:<math>\omega(v_1,v_2)=\sum_{i=1}^n p_1^iq_2^i-p_2^iq_1^i</math>.
 
La forme <math>\omega_0</math> est représentée par la matrice antisymétrique :
 
:<math>
J=\begin{pmatrix}
0 &-I_n \\
 
** L'ensemble des vecteurs ''v'' vérifiant <math>a(X_1,v)=a(Y_1,v)=0</math> est un sous-espace vectoriel Q de ''E''. Tout vecteur ''w'' peut s'écrire :
::<math>w=w_P+w_Q</math> où <math>\scriptstyle w_p=a(X_1,w)Y_1+a(w,Y_1)X_1\in P</math> et <math>w_Q\in Q</math>.
 
** En particulier, ''P'' et ''Q'' sont supplémentaires. Le noyau de ''a'' est évidemment contenu dans ''Q''. Appliquons l'hypothèse de récurrence à la restriction ''b'' de ''a'' à ''Q''. Il existe une base <math>\scriptstyle Z_1,\dots,Z_r</math> du noyau de ''b'', étendue en une base <math>\scriptstyle X_2, \dots,X_n,Y_2,\dots,Y_n, Z_1,\dots Z_r</math> vérifiant les identités <math>a(X_i,X_j)=0</math>, <math> a(X_i,Y_j=\delta_{ij}</math> et <math>a(Y_i,Y_j)=0</math>.
| contenu =
En géométrie symplectique, étant donné un espace vectoriel réel (de dimension finie) ''E'', il est courant de noter les coordonnées d'un point de l'espace <math> E\times E^*</math> sous la forme <math>v=(q,p)</math>. Les dernières coordonnées ''p'' sont pensées comme l'impulsion, les premières ''q'' comme la position. L'espace <math> E\times E^*</math> est alors muni de la forme symplectique suivante :
:<math>\omega_E(v_1,v_2)=p_1(q_2)-p_2(q_1)\,</math>.
 
Si <math>\scriptstyle f:E\rightarrow F</math> est un isomorphisme linéaire, alors sa transposée <math>\scriptstyle f^T:F^*\rightarrow E^*</math> est elle-même inversible. De fait, <math>\scriptstyle (f,{f^T}^{-1})</math> est un isomorphisme linéaire <math>\scriptstyle E\times E^*\rightarrow F\times F^*</math>. Cet isomorphisme est symplectique pour les formes <math>\omega_E</math> et <math>\omega_F</math>.
| contenu =
Si (''E'',''g'') est un espace vectoriel euclidien, le dual ''E''<sub>*</sub> s'identifie à ''E'' via l'isomorphisme linéaire <math>\scriptstyle E\rightarrow E^*</math> induit par la forme bilinéaire ''g''. La forme symplectique <math>\omega_E</math> définie sur <math>E\times E^*</math> induit alors une forme symplectique sur <math>E\times E</math> :
:<math>\omega_g(v_1\oplus w_1,v_2\oplus w_2)=g(w_1,v_2)-g(v_1,w_2)\,</math>.
 
Toute isométrie <math>\scriptstyle T:(E,g)\rightarrow (F,g')</math> induit une transformation canonique : <math>\scriptstyle T\oplus T: (E\oplus E, \omega_g)\rightarrow (F\oplus F,\omega_{g'})</math>.
 
Une '''structure complexe''' (ou structure complexe linéaire) sur un espace vectoriel réel ''V'' est la réalisation de ''V'' comme espace vectoriel complexe. Elle est déterminée par la seule action de ''i'', donnée par un endomorphisme réel ''J'' de ''V'' vérifiant :
:<math>J^2=-Id_V</math>
 
''Remarque :'' La structure complexe ''J'' est inversible et <math>\frac{Id+J}{\sqrt{2}}</math> est une racine carrée de ''J''.
En effet, pour tous vecteurs ''v'' et ''w'' de ''E'', comme ''J'' est un symplectique, il vient :
 
:<math>g_J(v,w)=\omega(v,Jw)=\omega(Jv,-w)=\omega(w,Jv)=g_J(v,w)</math> ;
 
* ''<math>h_J</math> est un produit hermitien :''
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