« Analyse vectorielle/Analyse vectorielle complexe » : différence entre les versions

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Nous allons introduire les notations que nous utiliserons dans ce chapitre, à des fins simplificatrices. On suppose que le champ électrique est de la forme :
 
:<math>\mathbf E = \begin{pmatrix} E_{0,x} \cos (\omega t - k_xx+ \phi_x) \\ E_{0,y} \cos (\omega t - k_yy+ \phi_y) \\ E_{0,z} \cos (\omega t - k_zz + \phi_z) \end{pmatrix}</math>
 
Avec ''E<sub>i</sub>'' des amplitudes de champs, <math>\omega</math> la pulsation de l'onde, '''k''' = (''k<sub>x</sub>, k<sub>y</sub>, k<sub>z</sub>'') le vecteur d'onde (dont la norme est le nombre d'onde ''k'') et ''ϕ<sub>i</sub>'' des éventuels déphasages. On rappelle que ''k'' est défini par ''k² = ω²/c²''.
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On introduit la notation complexe :
 
:<math>\mathcal E = \begin{pmatrix} E_{0,x} e^{i (\omega t - k_xx+ \phi_x)} \\ E_{0,y} e^{i (\omega t - k_yy + \phi_y)} \\ E_{0,z} e^{i(\omega t - k_zz + \phi_z)} \end{pmatrix}</math>
 
De sorte que le champ électrique véritable est la partie réelle de ce « vecteur complexe » :
 
:<math>\mathbf E = \Re ( \mathcal E )</math>
 
On peut réécrire :
 
:<math>\mathcal E = \begin{pmatrix} E_{0,x} e^{i \phi_x} \\ E_{0,y} e^{i \phi_y} \\ E_{0,z} e^{i \phi_z} \end{pmatrix} e^{i (\omega t - \mathbf k \cdot \mathbf r)} = \mathcal E_0 e^{i (\omega t - \mathbf k \cdot \mathbf r)}</math>
 
Il est important à ce stade de noter que la quantité <math>\mathcal E_0</math> n'est pas élémentaire : il s'agit d'un vecteur dont les coordonnées sont des nombres complexes.
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On admet ici que le vecteur formel nabla prend dans l'espace de Fourier la forme suivante :
:<math>\nabla = -i \mathbf k</math>
 
On retrouve ainsi les expressions des opérateurs vectoriels :
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=== Exemple simple (relation de structure) ===
Commençons par un exemple simple. Supposons que le champ se propage selon la seule direction ''x'' dans le vide, alors d'après l'équation de Maxwell-Gauss :
:<math>\mathrm{div} \, \mathbf E = 0</math>
Avec ce qui précède, la divergence du champ électrique est la partie réelle de :
:<math>\begin{align} -i k\mathbf e_x \cdot \mathcal E_0 e^{i(\omega t - k \mathbf r \cdot \mathbf e_x)} & = -ik e^{i(\omega t - kx)} \left( \mathbf e_x \cdot \mathcal E_0 \right) \end{align}</math>
Ainsi, on a :
:<math>\Re \left( \mathbf e_x \cdot \mathcal E \right) = \mathbf e_x \cdot \mathbf E = 0</math>
C'est-à-dire qu'à tout instant, le champ électrique est orthogonal à sa direction de propagation (cela est évident du point de vue des invariances, mais il est toujours bon de le vérifier).
=== Exemple moins simple (nombre d'onde) ===
Intéressons-nous plutôt à l'équation de propagation du champ électrique. En effet, on sait que, dans le vide :
:<math>\Delta \mathbf E - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf E}{\partial t^2} = 0</math>
Réécrivons cela à la lumière des outils développés dans ce chapitre :
:<math>\frac{\partial^2 \mathbf E}{\partial t^2} = \Re \left( -\omega^2 \mathcal E \right)</math>
:<math>\Delta \mathbf E = \Re \left( -k^2 \mathcal E\right) </math>
On a ainsi :
:<math>\begin{align} -k^2 \mathcal E + \frac{1}{c^2} \omega^2 \mathcal E & = & 0 \\ -k^2 + \frac{\omega^2}{c^2} & = & 0 \\ k^2 & = & \frac{\omega^2}{c^2} \end{align}</math>
 
On retrouve la définition de ''k'' = ||'''k'''||, ce qui est rassurant.