« Analyse vectorielle/Analyse vectorielle complexe » : différence entre les versions
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Ligne 17 :
Nous allons introduire les notations que nous utiliserons dans ce chapitre, à des fins simplificatrices. On suppose que le champ électrique est de la forme :
Avec ''E<sub>i</sub>'' des amplitudes de champs, <math>\omega</math> la pulsation de l'onde, '''k''' = (''k<sub>x</sub>, k<sub>y</sub>, k<sub>z</sub>'') le vecteur d'onde (dont la norme est le nombre d'onde ''k'') et ''ϕ<sub>i</sub>'' des éventuels déphasages. On rappelle que ''k'' est défini par ''k² = ω²/c²''.
Ligne 23 :
On introduit la notation complexe :
De sorte que le champ électrique véritable est la partie réelle de ce « vecteur complexe » :
On peut réécrire :
Il est important à ce stade de noter que la quantité <math>\mathcal E_0</math> n'est pas élémentaire : il s'agit d'un vecteur dont les coordonnées sont des nombres complexes.
Ligne 40 :
On admet ici que le vecteur formel nabla prend dans l'espace de Fourier la forme suivante :
On retrouve ainsi les expressions des opérateurs vectoriels :
Ligne 50 :
=== Exemple simple (relation de structure) ===
Commençons par un exemple simple. Supposons que le champ se propage selon la seule direction ''x'' dans le vide, alors d'après l'équation de Maxwell-Gauss :
Avec ce qui précède, la divergence du champ électrique est la partie réelle de :
Ainsi, on a :
C'est-à-dire qu'à tout instant, le champ électrique est orthogonal à sa direction de propagation (cela est évident du point de vue des invariances, mais il est toujours bon de le vérifier).
=== Exemple moins simple (nombre d'onde) ===
Intéressons-nous plutôt à l'équation de propagation du champ électrique. En effet, on sait que, dans le vide :
Réécrivons cela à la lumière des outils développés dans ce chapitre :
On a ainsi :
On retrouve la définition de ''k'' = ||'''k'''||, ce qui est rassurant.
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