« Approfondissement sur les suites numériques/Suites arithmético-géométriques » : différence entre les versions
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Ligne 12 :
{{Définition
| contenu = Soit ''a, b'' deux nombres réels ou complexes. Soit ''n > 0'' un entier naturel. On appelle '''suite récurrente linéaire d'ordre un''' toute suite définie par une relation de la forme :
étant donné une condition initiale sur ''u₀''.
}}
Ligne 30 :
== Les premiers termes de la suite ==
Il semblerait bien que :
Vérifions que cette solution marche pour les cas particuliers :
Ligne 55 :
* si ''b = 0'', notre formule donne <math>u_n = u_0 \times a^n</math> ;
* si ''a = 1'', alors elle donne :
Est-ce bon dans le cas général ?
Ligne 62 :
Réécrivons la formule précédente sous une forme plus générique :
La relation de récurrence que doit vérifier la suite est :
Ce que l'on peut également écrire au rang suivant :
On a par ailleurs, avec notre formule :
== Conclusion ==
Ligne 75 :
Nous venons de montrer que les suites récurrentes linéaires d'ordre un admettent toujours une (et unique) solution :
Remarquons alors que la somme de droite est une somme géométrique, que l'on sait donc calculer. Si ''a = 1'', alors on sait que :
et, dans le cas contraire,
Pour conclure, la solution est comme suit :
Ligne 91 :
| contenu = Soit ''a'' et ''b'' deux réels. Les suites solutions de la relation de récurrence :
Sont les suites de la forme :
où ''u₀'' est un réel.
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