« Approfondissement sur les suites numériques/Suites arithmético-géométriques » : différence entre les versions

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{{Définition
| contenu = Soit ''a, b'' deux nombres réels ou complexes. Soit ''n > 0'' un entier naturel. On appelle '''suite récurrente linéaire d'ordre un''' toute suite définie par une relation de la forme :
:<math>u_n = au_{n-1} + b</math>
étant donné une condition initiale sur ''u₀''.
}}
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== Les premiers termes de la suite ==
 
:<math>u_1 = au_0 + b\,</math>
 
 
:<math>\begin{align} u_2 & = au_1 + b \\ \ & = a \left( au_0 + b \right) + b \\ \ & = a^2u_0 + ab + b \end{align}</math>
 
 
:<math>\begin{align} u_3 & = au_2 + b \\ \ & = a \left( a^2u_0 + ab + b \right) + b \\ \ & = a^3u_0 + a^2b + ab + b\end{align}</math>
 
 
:<math>\begin{align} u_4 & = au_3 + b \\ \ & = a \left(a^3u_0 + a^2b + ab + b \right) + b \\ \ & = a^4u_0 + a^3b + a^2b + ab + b\end{align}</math>
 
 
:<math>\begin{align} u_5 & = au_4 + b \\ \ & = a \left(a^4u_0 + a^3b + a^2b + ab + b \right) + b \\ \ & = a^5u_0 + a^4b + a^3b + a^2b + ab + b\end{align}</math>
 
 
:<math>\ldots</math>
 
Il semblerait bien que :
:<math>u_n = a^nu_0 + a^{n-1}b + \ldots + ab + b</math>
 
Vérifions que cette solution marche pour les cas particuliers :
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* si ''b = 0'', notre formule donne <math>u_n = u_0 \times a^n</math> ;
* si ''a = 1'', alors elle donne :
::<math>u_n = 1^nu_0 + 1^{n-1}b + \ldots + 1b + b = u_0 + b + \ldots + b = u_0 + nb</math>.
 
Est-ce bon dans le cas général ?
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Réécrivons la formule précédente sous une forme plus générique :
:<math>u_n = a^nu_0 + a^{n-1}b + \ldots + ab + b = a^nu_0 + \sum_{i=0}^{n-1} a^ib</math>
La relation de récurrence que doit vérifier la suite est :
:<math>u_n = au_{n-1} + b</math>
Ce que l'on peut également écrire au rang suivant :
:<math>u_{n+1} = au_{n} + b</math>
 
On a par ailleurs, avec notre formule :
:<math>\begin{align} u_{n+1} & = a^{n+1}u_0 + \sum_{i=0}^{n} a^ib \\ \ & = a \times a^nu_0 + b + \sum_{i=1}^{n} a^ib \\ \ & = a \left[ a^nu_0 + \sum_{i=1}^{n} a^{i-1}b \right] + b \\ \ & = a \left[ a^nu_0 + \sum_{i=0}^{n-1} a^ib \right] + b \\ \ & = a u_n + b \end{align}</math>
 
== Conclusion ==
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Nous venons de montrer que les suites récurrentes linéaires d'ordre un admettent toujours une (et unique) solution :
 
:<math>u_n = a^nu_0 + b\sum_{i=0}^{n-1} a^i</math>
 
Remarquons alors que la somme de droite est une somme géométrique, que l'on sait donc calculer. Si ''a = 1'', alors on sait que :
 
:<math>\sum_{i=0}^{n-1} a^i = n \cdot a = n</math>
 
et, dans le cas contraire,
 
:<math>\sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1 - a^n}{1 - a}</math>
 
Pour conclure, la solution est comme suit :
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| contenu = Soit ''a'' et ''b'' deux réels. Les suites solutions de la relation de récurrence :
 
:<math>u_{n+1} = a u_n + b\,</math>
 
Sont les suites de la forme :
 
:<math>\begin{cases} n b + u_0 & \mathrm{si} \quad a = 1 \\ a^nu_0 + b\frac{1-a^n}{1-a} & \mathrm{si} \quad a \neq 1 \end{cases}</math>
 
où ''u₀'' est un réel.