« Systèmes de Cramer/Introduction » : différence entre les versions
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Ligne 35 :
On peut le résoudre avec des outils élémentaires. On a en effet, dans la deuxième ligne :
Par substitution dans la première ligne :
Ce qui donne ''x = 2'', donc ''y = -1''.
Ligne 68 :
Posons donc la matrice '''A''' et les vecteurs '''X''' et '''B''', pour pouvoir écrire la même chose ainsi :
Supposons enfin que la matrice '''A''' est inversible, alors il existe une unique solution :
{{Définition
Ligne 79 :
Pour l'exemple, continuons le calcul en inversant '''A''' :
Calculons enfin '''X''' :
5 \\ 9
\end{pmatrix} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix}
Ligne 102 :
On peut d'ailleurs donner une expression plus sympathique de la solution, qui ne nécessite pas d'inverser la matrice '''A''' — mais qui nécessite toujours qu'elle soit inversible, bien entendu. En effet, si on note <math>x_1, \ldots, x_k</math> les inconnues, alors :
où la matrice '''A<sub>k</sub>''' est la matrice '''A''' dont on a remplacé la ''k''-ième colonne par le vecteur '''B'''.
Ligne 114 :
| contenu =
Attention ! Ce n'est pas parce qu'un système n'est pas de Cramer qu'il n'admet pas de solution ! Un contre exemple est :
Le déterminant est nul (donc '''A''' n'est pas inversible), mais tout couple tel que ''x = y'' est solution...
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