« Systèmes de Cramer/Introduction » : différence entre les versions

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On peut le résoudre avec des outils élémentaires. On a en effet, dans la deuxième ligne :
:<math>y = 4x - 9</math>
Par substitution dans la première ligne :
:<math>3x + \left( 4x - 9 \right) = 3x + 4x - 9 = 7x - 9 = 5</math>
Ce qui donne ''x = 2'', donc ''y = -1''.
 
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Posons donc la matrice '''A''' et les vecteurs '''X''' et '''B''', pour pouvoir écrire la même chose ainsi :
:<math>\mathbf A \cdot \mathbf X = \mathbf B</math>
 
Supposons enfin que la matrice '''A''' est inversible, alors il existe une unique solution :
:<math>\mathbf X = \mathbf A^{-1} \cdot \mathbf B</math>
 
{{Définition
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Pour l'exemple, continuons le calcul en inversant '''A''' :
:<math>\begin{align} \mathbf A^{-1} & = \frac{1}{\mathrm{det}\, \mathbf A} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -4 & 3\end{pmatrix} \\ \ & = - \frac{1}{7} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -4 & 3\end{pmatrix} \\ \ & = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -3\end{pmatrix} \end{align}</math>
 
Calculons enfin '''X''' :
:<math>\mathbf X = \mathbf A^{-1} \cdot \mathbf B = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
5 \\ 9
\end{pmatrix} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix}
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On peut d'ailleurs donner une expression plus sympathique de la solution, qui ne nécessite pas d'inverser la matrice '''A''' — mais qui nécessite toujours qu'elle soit inversible, bien entendu. En effet, si on note <math>x_1, \ldots, x_k</math> les inconnues, alors :
 
:<math>x_k = \frac{\mathrm{det}\, \mathbf A_k}{\mathrm{det} \, \mathbf A}</math>
 
où la matrice '''A<sub>k</sub>''' est la matrice '''A''' dont on a remplacé la ''k''-ième colonne par le vecteur '''B'''.
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| contenu =
Attention ! Ce n'est pas parce qu'un système n'est pas de Cramer qu'il n'admet pas de solution ! Un contre exemple est :
:<math>x - y = 0</math>
:<math>x - y = 0</math>
 
Le déterminant est nul (donc '''A''' n'est pas inversible), mais tout couple tel que ''x = y'' est solution...