« Systèmes de Cramer/Pivot de Gauss » : différence entre les versions

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L'objectif du pivot de Gauss est de ramener le système d'équations linéaires à un système ''étagé'' (dont on sait qu'il est soluble), c'est-à-dire de la forme « triangulaire » suivante :
 
:<math>\begin{cases}
3x + 5y - 1z & = 3 \\
5y - 3z & = 4 \\
Pour décrire l'algorithme, nous allons prendre un exemple, plutôt qu'une définition formelle :
 
:<math>\left\{\begin{array}{*{7}{c}} x &-& y &+& 2z &=& 5 \\ 3x &+& 2y &+&z &=& 10 \\ 2x &-& 3y &-& 2z &=& -10 \\ \end{array}\right.</math>
 
* '''Étape 1 : choix du pivot''' : on choisit un « pivot », c'est-à-dire l'un des monômes du système. Le premier pivot est le premier monôme de la première ligne, le second est le second monôme de la seconde ligne, ''etc.'' On commence donc avec « x » pour pivot.
* '''Étape 2 : élimination''' : on soustrait aux lignes ''suivantes'' la ligne du pivot un nombre suffisant de fois pour que tous les termes en « x » (1{{er}} pivot), en « y » (2{{e}} pivot) ''etc.'' s'annulent. Dans notre exemple, la première étape :
 
:<math>\left\{\begin{array}{*{7}{c}} x &-& y &+& 2z &=& 5 \\ 3x &+& 2y &+&z &=& 10 \\ 2x &-& 3y &-& 2z &=& -10 \\ \end{array}\right.</math>
 
Il faut soustraire ''3 fois'' la première ligne (ligne du pivot) à la seconde, et ''2 fois'' la première ligne à la troisième. Cela donne :
 
:<math>\left\{\begin{array}{*{7}{c}} x &-& y &+& 2z &=& 5 \\ 0 &+& 5y &-& 5z &=& -5 \\ 0 &-& y &-& 6z &=& -20 \\ \end{array}\right.</math>
 
* '''Retour à l'étape 1''' avec le pivot suivant.
La suite des étapes donne (pivot : ''y'') :
 
:<math>\left\{\begin{array}{*{7}{c}} x &-& y &+& 2z &=& 5 \\ 0 &+& y &-& z &=& -1 \\ 0 &-& 0 &-& 7z &=& -21 \\ \end{array}\right.</math>
 
On en déduit ''z = 3'', puis ''y = 2'', puis ''x = 1''. On vérifie que ce triplet est solution.
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