« Système d'équations linéaires/Résolution par combinaison » : différence entre les versions

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Robot : Remplacement de texte automatisé (-\:*\<math\> +<math>)
m (Robot : Remplacement de texte automatisé (-\:*\<math\> +<math>))
 
Prenons les achats de Pierre et soustrayons les achats de Paul, on a
:<math>(6x+10y) - (6x+30y) = 14 - 30</math>
On remarque que les <math>x</math> s'éliminent :
:<math>6x + 10y - 6x - 30y = -16</math>
:<math>-20y = -16</math>
Et on obtient :
:<math>y = \cfrac{16}{20} = 0,8</math>
Ouf, le croissant coûte toujours 0,8 €.
 
 
Prenons les achats de Pierre et soustrayons les achats de Paul, on a
:<math>(6x+10y) - (2x+10y) = 14 - 10</math>
On remarque que les <math>y</math> s'éliminent :
:<math>6x + 10y - 2x - 10y = 4</math>
:<math>4x = 4</math>
Et on obtient :
:<math>x = 1</math>
Ouf, la baguette coûte toujours 1 €.
 
 
Pour cela on numérote les différentes lignes du système d'équation :
:<math>(\mathcal{S}) : \left\{\begin{array}{ll} 3x + 5y = 7 & L1\\ 2x + 10y = 10 & L2 \end{array}\right.</math>
Puis on effectue l'opération <math>2\times L1 - 3\times L2</math>, ce qui signifie qu'on multiplie la première équation par 2, la deuxième par 3 et qu'on soustrait les équations obtenues :
:<math>
\begin{array}{ll}
- &
 
On effectue ensuite l'opération <math>2\times L1 - L2</math> :
:<math>
\begin{array}{ll}
- &
Nous reprenons l'exemple du chapitre précédent, pour bien montrer que cette méthode est différente de la méthode par substitution :
 
:<math>\begin{cases} x + 5y - z = 8 \\ 2x - 2y + 2z = 4 \\ x + y + z = 6 \end{cases} </math>
 
Nous soustrayons deux fois la première ligne à la seconde :
 
:<math>\begin{cases} x + 5y - z = 8 \\ 0 - 12y + 4z = -12 \\ x + y + z = 6 \end{cases} </math>
 
Soustrayons une fois la première ligne à la troisième :
 
:<math>\begin{cases} x + 5y - z = 8 \\ 0 - 12y + 4z = -12 \\ 0 - 4y + 2z = -2 \end{cases} </math>
 
Soustrayons deux fois la dernière ligne à la deuxième :
 
:<math>\begin{cases} x + 5y - z = 8 \\ 0 - 4y + 0 = -8 \\ 0 - 4y + 2z = -2 \end{cases} </math>
 
On trouve, dans la deuxième ligne :
 
:<math>y = 2\,</math>
 
Donc :
 
:<math>\begin{cases} x + 10 - z = 8 \\ y = 2 \\ - 8 + 2z = -2 \end{cases} </math>
 
On trouve, dans la troisième ligne :
 
:<math>z = 3\,</math>
 
Donc :
 
:<math>\begin{cases} x + 10 - 3 = 8 \\ y = 2 \\ z = 3 \end{cases} </math>
 
La première ligne donne enfin :
 
:<math>x = 1\,</math>
 
Finalement, nous avons complètement résolu le système :
 
:<math>\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3 \end{cases} </math>
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