« Fonction exponentielle/Croissances comparées » : différence entre les versions

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On a :
 
:<math>\phi'(x)=e^x-x\,</math>
 
et
 
:<math>\phi''(x)=e^x-1\,</math>
 
Sur <math>[0;+\infty[</math> ,comme <math>e^x\geq 1</math> donc <math>\phi''(x)\geq 0</math>, donc <math>\phi'</math> est croissante sur <math>[0;+\infty[</math>.
On en déduit avec l'expression de <math>\phi(x)=e^x-\frac{1}{2}x^2</math>, que sur <math>[0;+\infty[</math> :
 
:<math>e^x-\frac{1}{2}x^2 \geq 0</math>
 
donc:
 
:<math>e^x\geq \frac{1}{2}x^2</math>
 
donc :
 
:<math>\frac{e^x}{x}\geq \frac{1}{2}x\,</math>.
 
Or <math>\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2}x=+\infty\,</math> donc par comparaison, <math>\lim_{x \to +\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty\,</math>}}
* Soit <math>x\in\R</math>.
* On a
:<math>\begin{align}
(x^2+1)e^x&=((-X)^2+1)e^{-X}\\
&=\frac{X^2+1}{e^X}\\
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2+1}</math>
{{Solution|contenu=Soit <math>x\in\R</math> :
:<math>\begin{align}
\ln\left(\frac{e^x}{x^2+1}\right)&=x-\ln(x^2+1)\\
&=x-\ln\left(x^2\left(1+\frac1{x^2}\right)\right)\\
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{\sqrt x}</math>
{{Solution|contenu=Soit <math>x\in[0;+\infty[</math> :
:<math>\begin{align}
\ln\left(\frac{e^x}{\sqrt x}\right)&=x-\ln(\sqrt x)\\
&=x-\frac12\ln(x)\\
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