« Fonction exponentielle/Croissances comparées » : différence entre les versions

On a :

 

 

et

 

 

Sur <math>[0;+\infty[</math> ,comme <math>e^x\geq 1</math> donc <math>\phi''(x)\geq 0</math>, donc <math>\phi'</math> est croissante sur <math>[0;+\infty[</math>.

On en déduit avec l'expression de <math>\phi(x)=e^x-\frac{1}{2}x^2</math>, que sur <math>[0;+\infty[</math> :

 

 

donc:

 

 

donc :

 

 

Or <math>\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2}x=+\infty\,</math> donc par comparaison, <math>\lim_{x \to +\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty\,</math>}}

* Soit <math>x\in\R</math>.

* On a

(x^2+1)e^x&=((-X)^2+1)e^{-X}\\

&=\frac{X^2+1}{e^X}\\

* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2+1}</math>

{{Solution|contenu=Soit <math>x\in\R</math> :

\ln\left(\frac{e^x}{x^2+1}\right)&=x-\ln(x^2+1)\\

&=x-\ln\left(x^2\left(1+\frac1{x^2}\right)\right)\\

* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{\sqrt x}</math>

{{Solution|contenu=Soit <math>x\in[0;+\infty[</math> :

\ln\left(\frac{e^x}{\sqrt x}\right)&=x-\ln(\sqrt x)\\

&=x-\frac12\ln(x)\\