« Fonction logarithme/Exercices/Primitive d'une fraction rationnelle » : différence entre les versions

On cherche les deux racines du polynôme, à partir du discriminant :

 

 

On a <math>\Delta > 0</math>, donc le polynôme admet deux racines :

 

 

Ainsi, on peut factoriser le polynôme sous la forme :

 

 

;Méthode alternative :

On sait que la somme des racines égale ''-b/a = 6'' et on trouve la seconde racine ''y''. On résout ainsi directement le problème :

 

 

'''2.''' On a :

 

 

Et on cherche ''a'' et ''b'' tels que :

 

 

Mettons ces fractions au même dénominateur :

Les nombres ''a'' et ''b'' sont ainsi solution lorsque :

 

 

La première relation impose ''a = b''. En remplaçant dans la seconde :

 

 

On trouve : <math>a=b=\frac1{10}</math>.

'''3.''' Nous allons mettre à profit la décomposition trouvée précédemment :

 

 

En effet, on sait primitiver les fonctions de la forme ''u'/u'' (ce sont des logarithmes ln ''u''). Dans notre cas, si on pose :

 

 

En dérivant :

 

 

Par conséquent :

 

 

Et on peut réécrire ''ƒ'' sous la forme :

 

 

On peut alors facilement trouver que les primitives de ''ƒ'' sont les fonctions :

 

 

où ''K'' est une constante.}}