« Fonctions d'une variable complexe/Le logarithme complexe » : différence entre les versions

L'exponentielle complexe est définie et holomorphe sur <math>\mathbb{C}</math> par :

 

 

}}

Grâce à l'exponentielle complexe nous pouvons étendre la définition des fonctions hyperboliques à <math>\mathbb{C}</math> :

 

 

 

== Propriétés de l'exponentielle complexe ==

la fonction <math>Ln</math>, qu'on appellera '''détermination principale du logarithme complexe''' par :

 

 

où <math>ln</math> désigne le logarithme népérien réel usuel.

: <math>\mathrm D_x(Ln(z))=\mathrm D_x(\ln(\sqrt{x^2+y^2})+i \mathrm D_x(\mathrm{Arg}(x+yi))=\frac{x}{x^2+y^2}+i \frac{-y}{x^2+y^2}=\frac{x-yi}{x^2+y^2}</math>

 

 

Ainsi <math>Log</math> est holomorphe, puisque :

 

 

La dérivée de <math>Log</math> se calcule en appliquant la règle de dérivation des fonctions composées :

 

 

Ce qui donne : <math>\mathrm D_z(Log(z))=\frac{\mathrm D_x(Log(z))}{\mathrm D_x(z)}=\frac{x-yi}{x^2+y^2}=\frac{\bar z}{\bar z z}=\frac{1}{z}</math>.